Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Z zadania:
[tex]a+a+r+a+2r=30\\3a+3r=30\\a+r=10 \Rightarrow r=10-a[/tex]
Zatem boki trójkąta można zapisać jako [tex]a, 10, 20-a[/tex]. Zastosujmy twierdzenia Carnota:
[tex](20-a)^{2}=a^{2}+10^{2}-2 \cdot a \cdot 10 \cdot cos(120^{o})\\400-40a+a^{2}=a^{2}+100-20a \cdot (-\frac{1}{2})\\400-40a=100+10a\\50a=300\\a=6[/tex]
Boki trójkąta są więc równe [tex]6, 10, 14[/tex].
Mamy obliczyć:
[tex]\frac{r}{R}=\frac{\frac{P}{p} }{\frac{abc}{4P} } =\frac{P}{p} \cdot \frac{4P}{abc} =\frac{4P^{2}}{pabc}[/tex]
gdzie:
[tex]r[/tex] - promień okręgu wpisanego w rozważany trójkąt,
[tex]R[/tex] - promień okręgu opisanego na rozważanym trójkącie,
[tex]P[/tex] - pole trójkąta,
[tex]p[/tex] - połowa obwodu trójkąta,
[tex]a,b,c[/tex] - boki trójkąta.
Obliczamy pole:
[tex]P=\frac{1}{2}a(a+r)sin(120^{o})=15\sqrt{3}[/tex]
Obliczamy połowę obwodu trójkąta:
[tex]p=\frac{3a+3r}{2}=15[/tex]
Obliczamy szukany stosunek:
[tex]\frac{r}{R}=\frac{4 \cdot (15\sqrt{3})^{2} }{15 \cdot 6 \cdot 10 \cdot 14} =\frac{3}{14}[/tex]
