Cześć!
Przykład a)
Dziedzina: [tex]x \in \mathbb{R}[/tex]
Wyłączamy przed nawias [tex]x^2[/tex] i otrzymujemy iloczyn dwóch czynników. Iloczyn dwóch czynników jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z nich jest zerem, zatem z równania czwartego stopnia zrobiły nam się dwa równania kwadratowe, połączone alternatywą ([tex]\vee[/tex])
[tex]3x^4-7x^3+2x^2=0\\\\x^2(3x^2-7x+2)=0 \iff x^2=0~~ \vee ~~3x^2-7x+2=0 \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=0 ~~~~ \vee ~~\Delta = (-7)^2-4\cdot 3\cdot 2\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta = 49-24=25\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\sqrt{\Delta} = 5\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x = \frac{-(-7)\pm5}{2\cdot 3} \Longrightarrow x \in \{\frac{1}{3}; 2\}[/tex]
Stąd finalnie rozwiązaniem równania są liczby: [tex]x \in \{0;\frac{1}{3}; 2\}[/tex]
Przykład b)
Dziedzina: [tex]x \in \mathbb{R}[/tex]
Nasze wyrażenie wielomianowe staramy się doprowadzić ponownie do iloczynu czynników, aby móc zastosować taktykę, której użyliśmy wyżej. W tym celu z dwóch pierwszych elementów wyłączamy [tex]x^2[/tex], a z dwóch ostatnich: [tex]-4[/tex]. Otrzymujemy wówczas różnicę dwóch iloczynów, które mają wspólny czynnik i jest nim [tex]x+3[/tex]. Wyłączamy go ponownie przed nawias i dochodzimy do iloczynu dwóch czynników - liniowego i kwadratowego. Zauważamy prędko, że drugi nawias możemy rozbić ze wzoru skróconego mnożenia na dwa inne: [tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]. Dzięki temu otrzymujemy iloczyn trzech czynników liniowych. Cały iloczyn będzie zerem, gdy przynajmniej jeden czynnik będzie zerowy.
[tex]x^3+3x^2-4x-12 = 0 \\\\x^2(x+3) -4(x+3) = 0\\\\(x+3)(x^2-4) = 0\\\\(x+3)(x-2)(x+2)=0 \iff x+3=0 ~~\vee ~~x-2=0 ~~\vee~~x+2=0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=-3 ~~~~~\vee ~~x=2 ~~~~~~~\vee ~~x=-2[/tex]
Stąd finalnie rozwiązaniem równania są liczby: [tex]x \in \{-3; -2; 2\}[/tex]
Przykład c)
Dziedzina: [tex]x \in \mathbb{R}[/tex]
Tutaj prościej - z góry równanie przedstawione jest jako iloczyn trzech czynników, więc wystarczy każdy przyrównać do zera. Dwa czynniki są liniowe, jeden kwadratowy - przy kwadratowym musimy uważać. Dlaczego? Na etapie rozwiązywania otrzymujemy równość [tex]x^2=-3[/tex], której nie spełnia żadna liczba rzeczywista x, ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny (większy bądź równy zero). Zatem równanie ma tylko dwa rozwiązania - mimo iloczynu trzech czynników.
[tex]2x(x^3+3)(5x+10) = 0 \iff 2x=0 ~~\vee ~~x^2+3=0~~ \vee ~~5x+10=0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=0 ~~~ \vee ~~x^2=-3 ~~~~~\vee ~~5x=-10\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x\in \oslash ~~~~~~~~\vee~~ x=-2[/tex]
Stąd finalnie rozwiązaniem równania są liczby: [tex]x \in \{-2;0\}[/tex]
Pozdrawiam!
