Cześć!
Z definicji - dwie funkcje [tex]f(x)[/tex] i [tex]g(x)[/tex] są równe, jeżeli:
[tex]D_f = D_g ~~ \wedge ~~ \forall_{x\in D} f(x)=g(x)[/tex], zatem:
a]
[tex]f(x) = \sqrt{x} \cdot \sqrt{(x-1)} = \sqrt{x(x-1)}[/tex], zgodnie ze wzorem dot. pierwiastków:
- [tex]\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}[/tex] (ten wzór oczywiście ma swoje założenia).
[tex]g(x) = \sqrt{x(x-1)}[/tex]
Funkcje po przekształceniach mają identyczne wzory, ale musimy zweryfikować dziedziny. W zbiorze liczb rzeczywistych rozpatrujemy jedynie pierwiastki z liczb nieujemnych, zatem:
[tex]D_{f(x)}: ~~~~x \geq 0 ~~ \land ~~ x-1\geq 0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~x \geq 0 ~~ \land ~~ x\geq 1\\\\D_{f(x)} : ~~~~ x\in \langle1; +\infty)[/tex]
[tex]D_{g(x)}: ~~~~x(x-1)\geq 0 \\\\D_{g(x)} : ~~~~ x\in (-\infty; 0\rangle \cup \langle 1; +\infty)[/tex] (parabola z ramionami skierowanymi w górę, miejsca zerowe: x∈{0;1}, kółeczka zamalowane, szukamy wartości większych/równych zero)
Zatem [tex]D_{f(x)} \not = D_{g(x)}[/tex], więc funkcje nie są równe.
b]
[tex]f(x) = log(x-1) + log(x-2) = log[(x-1)(x-2)][/tex], zgodnie ze wzorem:
- [tex]log_a m + log_a n = log_a(mn)[/tex] (oczywiście na mocy odpowiednich założeń).
[tex]g(x)=log[(x-1)(x-2)][/tex]
Funkcje po przekształceniach mają identyczne wzory, ale musimy zweryfikować dziedziny. Dziedziną funkcji logarytmicznej są wszystkie wartości x, dla których argument (tzw. liczba logarytmowana) będzie dodatni, zatem:
[tex]D_{f(x)}: ~~~~x-1>0 ~~ \land ~~ x-2>0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~x >1 ~~~~~~~ \land ~~ x>2\\\\D_{f(x)} : ~~~~ x\in (2; +\infty)[/tex]
[tex]D_{g(x)}: ~~~~(x-1)(x-2)>0 \\\\D_{g(x)} : ~~~~ x\in (-\infty; 1) \cup (2; +\infty)[/tex] (parabola z ramionami skierowanymi w górę, miejsca zerowe: x∈{1;2}, kółeczka niezamalowane, szukamy wartości większych od zera)
Zatem [tex]D_{f(x)} \not = D_{g(x)}[/tex], więc funkcje nie są równe.
Pozdrawiam!
