[tex]3^{x-2}+\dfrac{1994}{3^{x+2}}=111\qquad (x\in\mathbb{R})\\\\3^{x-2}\cdot3^{x+2}+1994=111\cdot3^{x+2}\\3^{x-2+x+2}+1994=111\cdot3^x\cdot3^2\\3^{2x}+1994=111\cdot3^x\cdot9\\\left(3^x\right)^2+1994=999\cdot3^x\\\left(3^x\right)^2-999\cdot3^x+1994=0\\\left(3^x\right)^2-2\cdot3^x-997\cdot3^x+1994=0\\3^x(3^x-2)-997(3^x-2)=0\\(3^x-997)(3^x-2)=0\\3^x-997=0 \vee 3^x-2=0\\3^x=997 \vee 3^x=2\\x=\log_3997 \vee x=\log_32[/tex]
[tex]\log_32<1[/tex], bo liczba logarytmowana jest mniejsza od podstawy logarytmu. Zatem [tex]\log_32[/tex] na pewno nie na leży do przedziału [tex](a,b)[/tex], bo [tex]a[/tex] musi być co najmniej równe 1, skoro ma być naturalne dodatnie.
Zauważmy, że
[tex]3^6=729\Rightarrow \log_3729=6[/tex] a [tex]3^7=2187\Rightarrow \log_32187=7[/tex].
Zatem
[tex]\log_3729<\log_3997<\log_32187\\6<\log_3997<7[/tex]
Skoro [tex]b-a=1[/tex], to [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] są kolejnymi liczbami naturalnymi.
Z powyższego wynika, że [tex]a=6[/tex] i [tex]b=7[/tex], a więc szukany przedział to [tex](6,7)[/tex].
