Cześć!
Dane jest równanie [tex]x^5+2,5x^2-2=0[/tex], którego dziedziną jest [tex]D=\mathbb{R}[/tex]. Należy wykazać, że w [tex]\langle 0;1\rangle[/tex] równanie to ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Do tego wykorzystamy pochodne. W tym celu przedstawmy nasze równanie w postaci [tex]g(x)=0[/tex]. Wówczas:
[tex]\frac{d}{dx}g(x) = 5\cdot x^{5-1} + 2\cdot 2,5x^{2-1} - 0\\\\\frac{d}{dx}g(x) = 5x^4 + 5x[/tex]
Wykorzystane wzory:
- Dla [tex]f(x)=a[/tex] pochodna jest równa 0 ([tex]f'(x)=0[/tex])
- Dla [tex]f(x)=x^n[/tex], pochodną określa wzór: [tex]f'(x)=n\cdot x^{n-1}[/tex]
Zbadajmy znaki pochodnej. Sprawdźmy, kiedy pochodna jest równa zero:
[tex]g'(x)=0 \iff 5x^4 + 5x = 0 \\\\~~~~~~~~~~~~~\iff 5x(x^3+1)=0 \\\\~~~~~~~~~~~~~\iff5x=0 \ \vee \ x^3+1=0 \\\\~~~~~~~~~~~~~\iff x=0 \ \vee \ x^3=-1 \\\\~~~~~~~~~~~~~\iff x\in \{-1;0\}[/tex]
Narysujmy wykres [tex]g'(x)[/tex] (załącznik). Dostrzegamy, że w przedziale [tex]\langle 0;1 \rangle[/tex] pochodna jest dodatnia, zatem nasza funkcja rośnie. Teraz musimy pokazać, że w tym przedziale równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie (czyli jedno, ale nie więcej). Korzystamy z twierdzenia Darboux:
Aby zaszła teza wynikająca z treści zadania, dla przedziału [tex]\langle 0;1 \rangle[/tex] spełniona musi być nierówność [tex]g(0) \cdot g(1) < 0[/tex]. Wówczas:
[tex]g(0) = 0^5 =2,5\cdot 0^2 -2 = -2\\\\g(1) = 1^5 +2,5\cdot 1^2 -2 = 3,5-2 = 1,5[/tex]
Stąd:
[tex]g(0) \cdot g(1) = (-2) \cdot 1,5 <0[/tex]
A to należało wykazać.
Pozdrawiam!
