Odpowiedź :
Odpowiedź
Dla n = 1 suma n początkowych wyrazów wynosi 1.
Dla n ≥ 2 suma n początkowych wyrazów wynosi
[tex]1 + \dfrac {91} 9 \cdot \dfrac {1 - 10^{n-1}} {1 - 10\:} - \dfrac {n-1} 9[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie
Wiele kroków...
Ciąg ma postać:
[tex]a_1 = 1\\a_2 = 10\\a_3 = 101\\a_4 = 1011\\a_5 = 10111\\a_6 = 101111\\...[/tex]
Najprostszy jest początek:
dla n = 1 suma n początkowych wyrazów ciągu wynosi 1.
Można zgadnąć, że dla n > 2 ogólny wzór na n-ty wyraz jest
[tex]a_n = 10 \cdot a_{n - 1} + 1[/tex] .
Jest to równanie rekurencyjne niejednorodne, które można przekształcić na postać jednorodną. Ponieważ
[tex]\displaystyle \left \{ {{a_n = 10 \cdot a_{n - 1} ~~+ 1} \atop {a_{n+1} = 10 \cdot a_{n} ~~~~~+ 1~~~}} \right.[/tex] ,
po odjęciu stronami otrzymujemy równanie rekurencyjne liniowe jednorodne
[tex]\displaystyle a_{n+1} = 11 \cdot a_{n} + 10 \cdot a_{n - 1}[/tex] ,
które przy warunkach początkowych
[tex]a_2 = 10\\a_3 = 101\\a_4 = 1011[/tex]
ma rozwiązanie
[tex]\displaystyle a_n = \dfrac {91} 9 \cdot 10^{n-1} - \dfrac 1 9\\\\\\\displaystyle a_n = \dfrac {91 \cdot 10^{n-1} - 1} 9[/tex] .
Dla n ≥ 2 suma n początkowych wyrazów danego ciągu jest sumą
- stałej 1,
- n początkowych wyrazów następującego ciągu geometrycznego [tex]\dfrac {91} 9 \cdot 10^{n-1}[/tex] ,
- n początkowych wyrazów następującego ciągu arytmetycznego [tex]\dfrac {-1} 9[/tex] .