Dowód I
Zachodzi równość
[tex]$\sin 3^{\circ}=\frac{1}{48} \sqrt{6}(\sqrt{5}-1)(3+\sqrt{3})-\frac{1}{24} \sqrt{3}(3-\sqrt{3}) \sqrt{5+\sqrt{5}}$[/tex]
poza tym [tex]\sin 3^{\circ}k[/tex] będzie można potem wyrazić za pomocą [tex]\sin 3^{\circ}[/tex] zatem koniec dowodu. Warto jednak zastanowić się skąd ta równość. Więc można to osiągnąć rozważając bardziej znane wartości typu
[tex]$\sin 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1 }{4} $[/tex]
(które wynikają z geometrii złotych podziałów, złotych kątów [tex]36^{\circ},72^{\circ}[/tex] itp. )
i dokonując obserwacji, że
[tex]\sin 3^{\circ}=\sin (18^{\circ}-15^{\circ})=...[/tex]
daje się ładnie policzyć. Więc to jest podejście konstruktywne, gdzie jawnie pokazuje się jak taka reprezentacja wygląda.
Dowód II
Można też skorzystać z (dość mocnego) twierdzenia Gaussa-Wantzela gładzącego, że [tex]n[/tex]-kąt foremny jest konstruowany (za pomocą cyrkla i liniału) wtedy i tylko wtedy, gdy [tex]n=2^l p_1p_2\dots p_k[/tex], gdzie [tex]p_i[/tex] to liczby pierwsze Fermata. Zauważmy teraz, że [tex]\cos 3^{\circ}[/tex] da się więc wyrazić za pomocą liczb konstruowanych ponieważ jeśli rozważmy [tex]120[/tex]-kąt foremny to zobaczymy, że jest on konstruowany wszak [tex]120=2^3\cdot 3\cdot 5[/tex]. Powiedzmy, że skonstruujemy taki [tex]120[/tex]-kąt w na którym można opisać okrąg jednostkowy. Wtedy zachodzi związek
[tex]d=2-2\cos 3^{\circ}[/tex]
gdzie [tex]d[/tex] jest długością boku naszego [tex]120[/tex]-kąta. Jest więc to liczba konstruowana. Zatem z (pewnego innego) twierdzenia Wantzela wynika, że istnieje wielomian [tex]w\in\mathbb{Q}_2[x][/tex] taki, że [tex]w(d)=0[/tex]. Zatem [tex]d[/tex] wyraża się przez pierwiastniki. Czyli [tex]\cos 3^{\circ}[/tex] też. Stąd już mamy wniosek odnośnie [tex]\sin 3^{\circ}[/tex] (wystarczy jedynka trygonometryczna).
Uwaga
Twierdzenie można wzmocnić. Rozważając odpowiednie wielokąty można pokazać, że z [tex]\sin 1^{\circ},\sin 2^{\circ}[/tex] już nie można tak zrobić. To znaczy nie ma tak ładnych reprezentacji.
Uwaga
Nie wiem czy moje dowody są optymalne pewnie można to uprościć. Podejrzewam, że nie pamiętam jakiegoś faktu odnośnie rozszerzeń ciała [tex]\mathbb{Q}(\cos \alpha)[/tex], a pewnie poszło by zgrabniej gdyby to z tym powiązać. Twierdzenie Lindemanna–Weierstrassa też (choć nie jest to wymagane) mogło by pomóc w bardzo formalnym podejściu.
Odpowiedź
Dowód dla dowolnej liczby całkowitej rozłożyłam na trzy części
Nie skupiałam się na obliczeniu wartości sin 36º, skąd można wyprowadzić wartość sin 18º, a następnie wartość sin 3º.
[tex]sin(3\textdegree \cdot k) = sin(3\textdegree \cdot 0) = sin(0) = 0[/tex]
[tex]- k \in \mathbb N^+ = \mathbb N_1 = \mathbb Z_+[/tex]
wtedy
[tex]sin(3\textdegree \cdot k) = -sin(-k \cdot 3\textdegree)[/tex]
Zatem wystarczy wykazać, że właściwość jest prawdziwa dla każdego k będącego dodatnią liczbą naturalną, aby była ona prawdziwa dla k < 0.
Sprawdźmy, że zachodzi dla k = 1. Dla k = 1 mamy
[tex]sin(3\textdegree \cdot k) = sin(3\textdegree \cdot 1) = sin(3\textdegree) =\\\\\dfrac { \sqrt{5} - 1 - \sqrt{6 (5 + \sqrt{5})} } { 8 \sqrt2 } + \dfrac { \sqrt{3} (\sqrt{5} - 1) + \sqrt{2(5 + \sqrt{5})} } { 8 \sqrt2 }[/tex]
Sprawdźmy, że jest prawdziwe dla k, jeśli jest prawdziwe dla k − 1.
[tex]sin(3\textdegree \cdot k) = sin((k-1) \cdot 3\textdegree + 3\textdegree ) = \\\\sin((k-1) \cdot 3\textdegree) \cdot cos(3\textdegree ) + cos((k-1) \cdot 3\textdegree) \cdot sin(3\textdegree )=\\\\\displaystyle sin((k-1) \cdot 3\textdegree) \cdot \sqrt {1 - sin^2(3\textdegree )} \pm \displaystyle \sqrt {1 - sin^2((k-1) \cdot 3\textdegree)} \cdot sin(3\textdegree )[/tex]
Użycie + lub − zależy od wielkości kąta (k - 1) · 3º.
Szczegółowe wyjaśnienie
Sinus, a właściwie sinus i cosinus, kąta 36º można obliczyć między innymi z zależności w pięciokącie foremnym. A następnie wykorzystać następujące tożsamości trygonometryczne oraz wartości funkcji sinus oraz cosinus dla kątów 30º oraz 45º.
[tex]\displaystyle cos \, 2\alpha = 1 - 2 \, sin^2 \, \alpha\\\\\displaystyle cos \, 36\textdegree = 1 - 2 \, sin^2\, 18\textdegree\\\\\displaystyle 2 \, sin^2\, 18\textdegree = 1 - cos \, 36\textdegree\\\\\displaystyle sin \, 18\textdegree = \sqrt {\: \dfrac {1 - cos \, 36\textdegree} {2} \:}[/tex]
[tex]\displaystyle cos \, 2\alpha = 2 \, cos^2 \, \alpha - 1\\\\\displaystyle cos \, 36\textdegree = 2 \, cos^2\, 18\textdegree - 1\\\\\displaystyle 2 \, cos^2\, 18\textdegree = 1 + cos \, 36\textdegree\\\\\displaystyle cos \, 18\textdegree = \sqrt {\: \dfrac {1 + cos \, 36\textdegree} {2} \:}[/tex]
[tex]sin (45\textdegree) = \dfrac {\sqrt2} 2\\\\sin (30\textdegree) = \dfrac 1 2\\cos (45\textdegree) = \dfrac {\sqrt2} 2\\\\cos (30\textdegree) = \dfrac {\sqrt 3} 2[/tex]
[tex]\sin \, 15\textdegree = sin (45\textdegree - 30\textdegree) = sin \, 45\textdegree \cdot cos \, 30\textdegree - cos \, 45\textdegree \cdot sin \, 30\textdegree\\\cos \, 15\textdegree = cos (45\textdegree - 30\textdegree)= cos \, 45\textdegree \cdot cos \, 30\textdegree + sin \, 45\textdegree \cdot sin \, 30\textdegree[/tex]
[tex]sin \, 3\textdegree = sin (18\textdegree - 15\textdegree) = sin \, 18\textdegree \cdot cos \, 15\textdegree - cos \, 18\textdegree \cdot sin \, 15\textdegree[/tex]
