Odpowiedź
Podana granica
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} x \cdot ln(sin(x))[/tex]
nie istnieje, ponieważ logarytm naturalny dla liczb rzeczywistych jest określony tylko dla argumentów dodatnich.
Są zatem dwie możliwe odpowiedzi
- granica nie istnieje,
- granica jest równa 0, jeżeli zadaniem byłoby wyznaczyć następującą granicę
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \cdot ln(sin(x))[/tex] .
Szczegółowe wyjaśnienie
Granicę
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \cdot ln(sin(x))[/tex]
można obliczyć korzystając z powszechnie znanych granic
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \cdot ln(sin(x)) =\\\\\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac {x} {sin(x)} \cdot sin(x) \cdot ln(sin(x))=\\\\\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac {x} {sin(x)} \cdot \lim_{x \to 0^+} sin(x) \cdot ln(sin(x)) = 1 \cdot 0 = 0[/tex]
Ponieważ
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac {x} {sin(x)} = 1[/tex]
tak samo jak
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac {sin(x)} {x} = 1[/tex]
Również znana jest granica
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0^+} sin(x) \cdot ln(sin(x)) =\\\\\displaystyle \lim_{y \to 0^+} y \cdot ln(y) =\\\\\displaystyle \lim_{y \to 0^+} ln(y^y) =\\\\\displaystyle ln \left( \lim_{y \to 0^+} (y^y) \right) = ln (1) = 0[/tex]
