Zadanie 1
Obliczyć całkę powierzchniową niezorientowaną [tex]\int\int_S\, (y+z+\sqrt{4-x^2}) dS[/tex] gdzie [tex]S[/tex] jest częścią powierzchni bocznej walca o równaniu [tex]x^2+y^2=4[/tex] zawartej pomiędzy płaszczyznami [tex]z=0[/tex] oraz [tex]z=3[/tex]
Odpowiedź: [tex]18\pi +48[/tex]
Zadanie 2
Sprawdzić czy pole wektorowe [tex]F=[yz(2x+y+z); \ xz(x+2y+z); \ xy(x+y+2z)][/tex] jest polem potencjalnym, Jeżeli tak, wyznaczyć potencjał tego pola.
Odpowiedź: Pole wektorowe F jest polem bezwirowym, tym samym posiada potencjał. Pole wektorowe posiadające potencjał jest polem potencjalnym. [tex]f(x;y;z)=x^2yz+xy^2z+xyz^2+C[/tex]
Zadanie 3
Stosując kryterium Weierstrassa zbadać zbieżność jednostajną szeregu [tex]\bigg \sum^\infty_{n=1}\bigg(\frac{sin(nx)}{n\sqrt{n} } \bigg); \ x \in \mathbb{R}[/tex]
Odpowiedź: Szereg jest zbieżny jednostajnie i bezwzględnie.
Zadanie 4
Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną [tex]\int\int_Sydzdx[/tex] gdzie [tex]S[/tex] jest powierzchnią czworościanu ograniczonego płaszczyznami [tex]x+y+z=1; \ x=0; \ y=0; \ z=0[/tex] zorientowaną na zewnątrz.
Odpowiedź: [tex]\frac{1}{6}[/tex]
Zadanie 5
Korzystając z twierdzenia Stokesa obliczyć całkę krzywoliniową zorientowaną [tex]\int_Kyzdx+zxdy+xydz[/tex] po obwodzie trójkąta o wierzchołkach: [tex]O=(0;0;0); \ A=(1;1;0); \ B=(1;1;1)[/tex] zorientowaną od punktu [tex]O[/tex] do punktu [tex]A[/tex]
Odpowiedź: [tex]0[/tex]
Zadanie 6 (uwaga: trudniejsze rachunki)
Obliczyć całkę powierzchniową zorientowaną [tex]\int\int_S2dxdy+ydxdz-x^2dydz[/tex] gdzie [tex]S[/tex] jest powierzchnią elipsoidy [tex]4x^2+y^2+4z^2=4[/tex] znajdującą się w pierwszej ósemce przestrzeni [tex]OXYZ[/tex] zorientowaną na zewnątrz.
Odpowiedź: [tex]\frac{4}{3} \pi -\frac{4}{15}[/tex]
