1) Rysunek pomocniczy w zalacznikach
Z wlasnosci trojkata o katach 90, 60 i 30 wyprowadzamy dlugosci scian prostokata
d - przeciwprostokatna
[tex]a = \frac{d}2\\b = \frac{d\sqrt3}{2}[/tex]
[tex]P = ab\\P = \frac{d}2*\frac{d\sqrt3}2\\P= \frac{d^2\sqrt3}{4}[/tex]
Wzor na pole trojkata rownobocznego:
[tex]P=\frac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
Bokiem naszego trojkata jest przekatna prostokata (d)
wiec
[tex]P = \frac{d^2\sqrt3}4[/tex]
Oba pola sa rowne
2)
Przekatna f dzieli nasz romb na 2 trojkatny rownoramienne o podstawie f, wysokosci 1/2e i ramionach a
[tex]P_t = \frac12*f*\frac12e\\P_t=\frac12f*\frac12e\\P_t=\frac14ef\\\\P_r = 2*\frac14ef\\P_r=\frac12ef\\P_r=\frac{ef}{2}[/tex]
3)
Wysokosci trapezu rownoramiennego dziela dluzsza podstawe na 3 czesci, z czego jedna to dlugosc krotszej podstawy a pozostale dwie sa rowne
|AB| = 2|AE|+|CD|
|AB|-|CD| = 2|AE| /:2
[tex]|AE| = \frac{|AB-|CD|}{2}[/tex]
4)
Romb:
a = a
e = a
[tex]a^2=(\frac12e)^2+h^2\\a^2=(\frac{a}2)^2+h^2\\a^2=\frac{a^2}{4}+h^2 /*4\\4a^2=a^2+4h^2\\3a^2=4h^2 /:4\\\frac{3a^2}4=h^2\\h=\sqrt{\frac{3a^2}4}\\h=a\sqrt{\frac34}\\\\P = 2*\frac{eh}{2}\\P=eh\\P=a*a\sqrt{\frac34}\\P=a^2\sqrt{\frac34}\\P_r=a^2\frac{\sqrt3}2[/tex]
Pole szesciokata foremnego jest rowny polu szesciu trojkatow rownobocznych
[tex]P_s = 6*\frac{a^2\sqrt3}4 = \frac{3a^2\sqrt3}{2}[/tex]
[tex]\frac{P_s}{P_r} = \frac{3a^2\sqrt3}2 : \frac{a^2\sqrt3}2 = \frac{3a^2\sqrt3}{2}*\frac2{a^2\sqrt3} = 3[/tex]
