Odpowiedź :
Odpowiedź
W każdym punkcie wspólnym jest f(x) = g(x). Po uzyskaniu wartości x, wartość drugiej współrzędnej obliczy się wyliczając f(x).
Należy zacząć od rozwiązania równania f(x) = g(x).
[tex]f(x) = g(x)\\\\2x^4+2x^3+9 = -2x^4+2x^3+37x^2\\\\4x^4 - 37x^2 + 9 = 0\\\\( 4x^2 - 1 ) \cdot ( x^2 - 9 ) = 0\\\\\left( x^2 - \dfrac {1} {\: 4 \,} \right) \cdot ( x^2 - 9 ) = 0[/tex]
[tex]\left( x^2 - \dfrac {1} {\: \displaystyle{ \, 2^2 \, } \,} \right) \cdot \left( x^2 - 9 \right) = 0\\\\\\\left( x - \dfrac {1} {\: \displaystyle{ \, 2 \, } \,} \right) \cdot \left( x + \dfrac {1} {\: \displaystyle{ \, 2 \, } \,} \right) \cdot ( x - 3 ) \cdot ( x + 3 ) = 0[/tex]
Czyli punkty wspólne to
[tex]\left( \, -3 ; \: f(-3) \, \right)\\\\\left( \, - \, \dfrac { 1 } { \: 2 \: } ; \: f\left(- \, \dfrac { 1 } { \: 2 \: }\right) \, \right)\\\\\\\left( \, \dfrac { 1 } { \: 2 \: } ; \: f\left(\dfrac { 1 } { \: 2 \: }\right) \, \right)\\\\\\\left( \, 3 ; \: f(3) \, \right)[/tex]
[tex]f(-3) = 2 \cdot (-3)^4 + 2 \cdot (-3)^3 + 9 = 162 - 54 + 9 = 117\\\\\f(3) = 2 \cdot 3^4 + 2 \cdot 3^3 + 9 = 162 + 54 + 9 = 225[/tex]
[tex]f\left(- \, \dfrac { 1 } { \: 2 \: }\right) = 2 \cdot \left(- \, \dfrac { 1 } { \: 2 \: }\right)^4 + 2 \cdot \left(- \, \dfrac { 1 } { \: 2 \: }\right)^3 + 9 = \dfrac { 1 } { \: 8 \: } - \dfrac { 1 } { \: 4 \: } + 9 = 8\dfrac { 7 } { \: 8 \: } = 8,875\\\\\\f\left(\dfrac { 1 } { \: 2 \: }\right) = 2 \cdot \left( \dfrac { 1 } { \: 2 \: }\right)^4 + 2 \cdot \left( \dfrac { 1 } { \: 2 \: }\right)^3 + 9 = \dfrac { 1 } { \: 8 \: } + \dfrac { 1 } { \: 4 \: } + 9 = 9\dfrac { 3 } { \: 8 \: } = 9,375[/tex]
Współrzędne wszystkich punktów wspólnych wykresów funkcji [tex]f(x)[/tex] oraz [tex]g(x)[/tex] są następujące
[tex]\boxed{ \:\:\: \:\:\: \left( \, -3 ; \: 117 \, \right), \:\:\: \:\:\: \left( \, - \, \dfrac { 1 } { \: 2 \: } ; \: 8 \dfrac { 7 } { \: 8 \: } \, \right), \:\:\: \:\:\: \left( \, \dfrac { 1 } { \: 2 \: } ; \: 9 \dfrac { 3 } { \: 8 \: } \, \right), \:\:\: \:\:\: \left( \, 3 ; \: 225 \, \right) \:\:\: \:\:\: }[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie
Oczywiście pierwiastki równania
[tex]4x^4 - 37x^2 + 9 = 0[/tex]
można znaleźć rozwiązując równanie kwadratowe
[tex]4z^2 - 37z + 9 = 0[/tex]
normalnie wyliczając wyznacznik
[tex]\displaystyle \Delta = b^2 - 4ac = 37^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 1369 - 144 = 1225 = 35^2[/tex]
Natomiast ja sprawdziłam pierwiastki podstawiając 1, 3, 9. Ponieważ są tylko potęgi parzyste, to jeśli znajdzie się pierwiastek wtedy jednocześnie jest drugi o przeciwnym znaku, czy w tym przypadku 3 oraz -3.