Rozwiązanie:
Zgodnie z rysunkiem:
[tex]O_1BC = BCO_2 = 90\°[/tex]
z własności odcinków stycznych
Praca na kątach:
[tex]O_1BA=\frac{(180-\alpha )}{2} =90-\frac{\alpha }{2} \\O_2CA=\frac{(180-\beta )}{2} =90-\frac{\beta }{2} \\\\[/tex]
A więc następujące kąty są równe (z zależności geometrycznych):
[tex]ABC=\frac{\alpha }{2} \\ACB=\frac{\beta }{2} \\\gamma =180-ABC-ACB=180 -\frac{\alpha +\beta }{2}[/tex]
Suma kątków w czworokącie [tex]BCO_1O_2[/tex] jest równa 360, a więc:
[tex]\alpha +\beta +90+90=360\\\alpha +\beta =180[/tex]
Podstawiając do wzoru na gamma:
[tex]\gamma = 180 - \frac{180}{2} = 90[/tex]
kąt gamma jest prosty, więc trójkąt ABC jest prostokątny, więc z twierdzenia pitagorasa:
[tex](BC)^{2}=(AB)^{2}+(AC)^{2}\\(BC)^{2}=(2\sqrt{10} )^{2}+(6\sqrt{10})^2\\(BC)^{2}=40+60=100\\BC = 10[/tex]
Odpowiedź:
Długość odcinka BC to 10.
