Odpowiedź
[tex]\boxed{ \:\: 1 - 2 \cdot sin^2 x \:\: } \: = \: ( cos^2 x + sin^2 x) - 2 \cdot sin^2 x = cos^2 x - sin^2 x =[/tex]
[tex]\displaystyle{ \frac { \: cos^2 x \: } { 1 } - \frac { \: sin^2 x \: } { 1 } \: = }\\\\\\\displaystyle{ \frac { \: cos^2 x \: } { \: cos^2 x + sin^2 x \: } - \frac { \: sin^2 x \: } { \: cos^2 x + sin^2 x \: } \: = }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \frac { \: cos^2 x \cdot \displaystyle{ \frac { 1 } { \: sin^2 x \: } } } { \: ( cos^2 x + sin^2 x ) \cdot \displaystyle{ \frac { 1 } { \: sin^2 x \: } } \: } - \frac { \: sin^2 x \cdot \displaystyle{ \frac { 1 } { \: cos^2 x \: } } \: } { \: ( cos^2 x + sin^2 x ) \cdot \displaystyle{ \frac { 1 } { \: cos^2 x \: } } \: } \: = }\\\\[/tex]
[tex]\displaystyle{ \frac { \: \displaystyle{ \frac { cos^2 x } { \: sin^2 x \: } } } { \: \displaystyle{ \frac { cos^2 x } { \: sin^2 x \: } } + 1\: } - \frac { \: \displaystyle{ \frac { sin^2 x } { \: cos^2 x \: } } \: } { \: 1 + \displaystyle{ \frac { sin^2 x } { \: cos^2 x \: } } \: } \: = }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \frac { \: \displaystyle{ \frac { 1 } { \: tg^2 x \: } } } { \: \displaystyle{ \frac { 1 } { \: tg^2 x \: } } + 1\: } - \frac { \: tg^2 x \: } { \: 1 + tg^2 x \: } \: = }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \frac { \: \displaystyle{ \frac { 1 } { \: tg^2 x \: } } \cdot tg^2 x } { \: \displaystyle{ ( \frac { 1 } { \: tg^2 x \: } } + 1 ) \cdot tg^2 x \: } - \frac { \: tg^2 x \: } { \: 1 + tg^2 x \: } \: = }[/tex]
[tex]\displaystyle{ \frac { \: 1 } { \: 1 + tg^2 x \: } - \frac { \: tg^2 x \: } { \: 1 + tg^2 x \: } \: = }[/tex]
[tex]\boxed{\displaystyle{ \:\: = \: \frac { \:\: 1 - tg^2 x \:\: } { \:\: 1 + tg^2 x \:\: } \:\: } }[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie
W dowodzie użyłam następujących tożsamości trygonometrycznych
[tex]cos^2 x + sin^2 x \: = \: 1[/tex]
[tex]\displaystyle{ \:\: \frac { \: sin^2 x \: } { \: cos^2 x \: } \:\: = \:\: tg^2 x }[/tex]