Odpowiedź:
Pole pierścienia obliczymy, odejmując pole mniejszego koła od pola większego.
Większy okrąg jest opisany na sześciokącie foremnym o boku długości 5. Długość promienia tego okręgu wynosi tyle, ile długość boku sześciokąta. Oznaczmy ten promień [tex]R=5[/tex].
Promień małego okręgu ma długość równą wysokości jednego z sześciu trójkątów równobocznych składających się na nasz sześciokąt foremny. Przyjrzyjmy się trójkątowi oznaczonemu na moim rysunku jako EDG. Ma on bok długości 5 i wysokość, którą możemy obliczyć ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego
[tex]h=\frac{a\sqrt3}{2}[/tex]
Wiemy, że a=5, stąd
[tex]h=\frac{5\sqrt3}{2}[/tex]
Oznaczmy promień małego okręgu jako r. Wówczas [tex]r=h=\frac{5\sqrt3}{2}[/tex]
Obliczamy pola kół. Oznaczmy [tex]P_d[/tex] - pole dużego koła, [tex]P_m[/tex] - pole małego koła. Mamy
[tex]P_d=\pi R^2=\pi\cdot 5^2=25\pi\\P_m=\pi r^2=\pi\cdot \left(\frac{5\sqrt3}{2}\right)^2 = \pi\cdot\frac{25\cdot3}{4}=\frac{75}{4}\pi[/tex]
Obliczamy pole pierścienia:
[tex]P_{pierscienia}=P_d-P_m=25\pi-\frac{75}{4}\pi=\frac{100}{4}\pi-\frac{75}{4}\pi=\frac{25}{4}\pi = 6\frac{1}{4}\pi[/tex]
