Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad 1
a) S = -4 / (1 - 2/3) = -4 * 3 = -12
b) S = √3 / (1 - 1/√3) = √3 * √3 / (√3 - 1) = 3(√3+1) / (3 - 1) = 3(√3+1) / 2
Zad 2
|2x / (x+1)| < 1
2x / (x+1) < 1 ∧ 2x / (x+1) > -1
(2x - x - 1) / (x+1) < 0 ∧ (2x + x + 1) / (x+1) > 0
(x-1)(x+1) < 0 ∧ (3x+1)(x+1) > 0
x² < 1 x = -1/3 ∨ x = -1
x ∈ (-1; 1) x ∈ (-∞; -1) ∪ (-1/3; +∞)
*wykres w załączniku*
Odp: x ∈ (-1/3; 1).
Zad 3
a) S = 1
a₁ = x, q = x/3, x ∈ (-3; 3)
S = x / (1 - x/3) = x * 3 / (3-x) = 3x / (3-x)
3x / (3-x) = 1
3x = 3 - x
4x = 3
x = 3/4
b) S = 1 - 4x
a₁ = 1 / (1-x), q = 1 / (1-x)
Zał: | 1 / (1-x) | < 1
1 / (1-x) < 1 ∧ 1 / (1-x) > - 1
(1 - 1 + x) / (1-x) < 0 ∧ (1 + 1 - x) / (1-x) > 0
x(1-x) < 0 ∧ (2-x)(1-x) > 0
x = 0 ∨ x = 1 x = 2 ∨ x = 1
x ∈ (-∞; 0) ∪ (1; +∞) x ∈ (-∞; 1) ∪ (2; +∞)
*wykres w załączniku*
x ∈ (-∞; 0) ∪ (2; +∞)
S = ( 1 / (1-x) ) / ( 1 - 1 / (1-x) )
S = ( 1 / (1-x) ) / ( -x / (1-x) )
S = 1 / (1-x) * (1-x) / (-x) = -1/x
-1/x = 1 - 4x //*x
-1 = x - 4x²
4x² - x - 1 = 0
Δ = 1 + 16 = 17 ⇒ √Δ = √17
x₁ = (1 - √17) / 8 spełnia założenie
x₂ = (1 + √17) / 8 nie spełnia założenia
Odp: x = (1 - √17) / 8.
