Rozwiązanie:
[tex]f(x)=x^{2}[/tex]
Obliczamy pochodną:
[tex]f'(x)=2x[/tex]
Punkt:
[tex]P=(0,-1)[/tex]
Styczne muszą przechodzić przez ten punkt, zatem punkt ten musi spełniać ich równania, stąd:
[tex]y=ax+b\\-1=b\\y=ax-1[/tex]
Ogólniej mówiąc, równanie stycznej do wykresu funkcji [tex]f[/tex] w punkcie [tex](x_{0},f(x_{0}))[/tex] ma postać:
[tex]y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})[/tex]
Stąd wynika, że współczynnik [tex]b[/tex] stycznej w postaci [tex]y=ax+b[/tex] jest równy:
[tex]b=f(x_{0})-f'(x_{0})*x_{0}[/tex]
Ponieważ w naszym przypadku [tex]b=-1[/tex], to:
[tex]f(x_{0})-f'(x_{0})*x_{0}=-1\\x_{0}^{2}-2x_{0}*x_{0}=-1\\x_{0}^{2}-2x_{0}^{2}+1=0\\1-x_{0}^2=0\\(1-x_{0})(1+x_{0})=0\\x_{0}=-1 \vee x_{0}=1[/tex]
Stąd też:
[tex]a=f'(x_{0})=f'(-1)=2*(-1)=-2 \vee a=f'(x_{0})=f'(1)=2*1=2[/tex]
Zatem styczne to:
[tex]y=2x-1\\y=-2x-1[/tex]
