Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Nierówność nie jest prawdziwa dla wszystkich liczb.
Jeżeli liczba jest ujemna to
przyjmijmy a = -2, b = 1, c = 1
Wtedy:
-8 + 1 - 0,5 ≥ -2 + 1 -2
-7,5 > -3
co oczywiście nie jest prawdą.
Zweryfikujmy dla liczb a,b,c > 0
[tex]\frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq ab + bc + ca[/tex]
[tex]\frac{a^3 - ab^2}{b} + \frac{b^3 - bc^2}{c} + \frac{c^3 - ca^2}{a} \geq 0[/tex]
[tex]\frac{a(a^2 - b^2)}{b} + \frac{b(b^2 - c^2)}{c} + \frac{c(c^2 - a^2)}{a} \geq 0[/tex]
[tex]a^2c(a^2 - b^2) + b^2a(b^2 - c^2) + c^2b(c^2 - a^2) \geq 0[/tex]
Nie zmniejszając ogólności tej nierówności symetrycznej możemy przyjąć że liczby spełniają nierówność
a ≥ b ≥ c>0
Dla takiego założenia:
[tex]a^2c(a^2 - b^2) + b^2a(b^2 - c^2) + c^2b(c^2 -b^2 +b^2- a^2) \geq 0[/tex]
[tex]a^2c(a^2 - b^2) -c^2b(a^2 -b^2) + b^2a(b^2 - c^2) - c^2b(b^2 - c^2) \geq 0\\[/tex]
[tex](a^2c - c^2b)(a^2 - b^2) + (b^2a - c^2b)(b^2 - c^2) \geq 0[/tex]
[tex]c(a^2 - bc)(a^2-b^2) + b(ab - c^2)(b^2 - c^2) \geq 0[/tex]
Z przyjętego założenia a ≥ b ≥ c > 0 wynika że
[tex]a^2 - bc \geq 0\\a^2 - b^2 \geq 0\\ab - c^2 \geq 0\\b^2 - c^2 \geq 0\\[/tex]
Tak więc suma iloczynów nieujemnych jest nieujemna.
cnd.
