Rozwiązanie:
Rysunek w załączniku.
Na początek obliczamy współczynniki kierunkowe prostych [tex]AC[/tex] oraz [tex]BC[/tex]:
1) [tex]AC[/tex]:
[tex]a=\frac{0-3}{3-(-6)} =-\frac{1}{3}[/tex]
2) [tex]BC[/tex]:
[tex]a=\frac{0-(-5)}{3-(-2)}=\frac{5}{5}=1[/tex]
Teraz wyznaczymy proste, w których zawierają się wysokości trójkąta opuszczone na boki [tex]AC[/tex] oraz [tex]BC[/tex]. Są to proste prostopadłe do prostych, w których zawierają się boki. Zatem ich współczynniki kierunkowe są równe [tex]3[/tex] oraz [tex]-1[/tex] odpowiednio. Pierwsza prosta musi przechodzić przez punkt [tex]B[/tex], więc:
[tex]y=3x+b\\B=(-2,-5)\\-5=3*(-2)+b \\b=1\\y=3x+1[/tex]
Druga prosta musi przechodzić przez punkt [tex]A[/tex], więc:
[tex]y=-x+b\\A=(-6,3)\\3=6+b\\b=-3\\y=-x-3[/tex]
Mamy już dwie wysokości trójkąta, więc możemy wyznaczyć punkt ich przecięcia:
[tex]3x+1=-x-3\\4x=-4\\x=-1\\y=-2\\S=(-1,-2)[/tex]
Potrzebujemy jeszcze promienia okręgu. Aby go wyznaczyć wystarczy, że obliczymy odległość punktu [tex]S[/tex] od prostej [tex]AC[/tex]:
[tex]AC: x+3y-3=0\\d=\frac{|-1-6-3|}{\sqrt{1+9} }=\frac{10\sqrt{10} }{10}=\sqrt{10}[/tex]
Zatem promień okręgu wynosi [tex]r=\sqrt{10}[/tex]. Zapisujemy równanie okręgu:
[tex](x+1)^{2}+(y+2)^{2}=10[/tex]
Wyznaczamy współrzędne punktu [tex]D[/tex] (punkt wspólny okręgu i prostej [tex]BC[/tex], taki, że [tex]D\neq B[/tex]):
[tex]\left \{ {{(x+1)^2+(y+2)^2=10} \atop {y=x-3}} \right. \\\\(x+1)^{2}+(x-3+2)^{2}=10\\x^{2}+2x+1+(x-1)^{2}=10\\x^{2}+2x+1+x^{2}-2x+1=10\\2x^{2}+2=10\\x^{2}+1=5\\x^{2}=4\\x=-2 \vee x=2[/tex]
Pierwsze rozwiązanie to punkt [tex]B[/tex], zatem musimy je odrzucić. Współrzędne punktu [tex]D[/tex] to:
[tex]D=(2,-1)[/tex]
Obliczamy [tex]|BD|[/tex] :
[tex]|BD|=\sqrt{(2+2)^{2}+(-1+5)^{2}} =\sqrt{16+16} =\sqrt{32}=4\sqrt{2}[/tex]
Obliczamy [tex]|DC|[/tex] :
[tex]|DC|=\sqrt{(3-2)^{2}+(0+1)^{2}} =\sqrt{2}[/tex]
Stąd:
[tex]\frac{|BD|}{|DC|}=\frac{4\sqrt{2} }{\sqrt{2} } =4[/tex]
