Odpowiedź:
[tex]C=(0 \ ; \ -5)\\C=(0 \ ; \ 5)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wyznaczmy długość odcinka AB:
[tex]|AB|=\sqrt{(3+8)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{121+4}=5\sqrt{5}[/tex]
Wiemy, że punkt C leży na osi OY, zatem jego współrzędne możemy zapisać:
[tex]C=(0 \ ; \ y)[/tex]
Odcinek AB jest przeciwprostokątną, suma kwadratów odcinków AC oraz BC musi być równa kwadratowi długości odcinka AB. Zapiszmy najpierw długości odcinków AC oraz BC:
[tex]|AC|=\sqrt{(0+8)^2+(y-1)^2}=\sqrt{y^2-2y+65} \\\\|BC|=\sqrt{(0-3)^2+(y+1)^2}=\sqrt{y^2+2y+10}[/tex]
Zauważmy, że wartości pod pierwiastkami są zawsze dodatnie, zatem możemy pominąć wartość bezwzględną przy podnoszeniu do kwadratu. Ułóżmy teraz równanie pozwalające wyznaczyć współrzędne punktu C:
[tex]|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2[/tex]
Czyli:
[tex]125=y^2-2y+65+y^2+2y+10\\\\2y^2-50=0\\\\y^2=25\\\\y=-5 \ \vee \ y=5[/tex]
Punkt C może mieć więc współrzędne:
[tex]C=(0 \ ; \ -5)\\C=(0 \ ; \ 5)[/tex]
