Rozwiązanie:
Zadanie 1.
[tex]a_{1}=\frac{3}{2}\\a_{n+1} =\frac{1}{2}a_{n-1}[/tex]
Jest to określenie rekurencyjne, lecz z drugiego równania łatwo wynika, że:
[tex]q^{2}=\frac{a_{n+1}}{a_{n-1}} =\frac{1}{2}\\q=\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex]
Obliczamy sumę szeregu zbieżnego:
[tex]S=\frac{a_{1}}{1-q}=\frac{\frac{3}{2} }{1-\frac{\sqrt{2} }{2} } =\frac{3}{2} *\frac{2}{2-\sqrt{2} } =\frac{3(2+\sqrt{2} )}{2}=\frac{6+3\sqrt{2} }{2} =3+\frac{3}{2} \sqrt{2}[/tex]
Odpowiedź: [tex]D[/tex].
Zadanie 2.
[tex]P_{n}=\pi (\frac{1}{2^{n}})^{2}=\frac{\pi}{4^{n}} \\P_{n+1}=\pi (\frac{1}{2^{n+1}})^{2}= \frac{\pi }{4^{n+1}} \\q=\frac{P_{n+1}}{P_{n}} =\frac{\frac{\pi }{4^{n+1}}}{\frac{\pi}{4^{n}}} =\frac{4^{n}}{4^{n+1}} =\frac{1}{4}[/tex]
Obliczamy pierwszy wyraz ciągu:
[tex]r_{1}=\frac{1}{2} \\P_{1}=\frac{\pi }{4}[/tex]
Obliczamy sumę:
[tex]S=\frac{P_{1}}{1-q} =\frac{\frac{\pi}{4} }{1-\frac{1}{4} } =\frac{\pi }{3}[/tex]
Zadanie 3.
[tex]x+x(x+2)+x(x+2)^{2}+x(x+2)^{3}+...\leq -3\\x[1+(x+2)+(x+2)^{2}+(x+2)^{3}+...]\leq -3[/tex]
W nawiasie mamy oczywiście szereg geometryczny, w którym:
[tex]a_{1}=1\\q=x+2[/tex]
Badamy warunek zbieżności, czyli [tex]|q|<1[/tex] :
[tex]|x+2|<1\\x+2<1 \wedge x+2>-1\\x<-1 \wedge x>-3\\x \in (-3,-1)[/tex]
Teraz obliczamy sumę szeregu:
[tex]S=\frac{1}{1-(x+2)} =\frac{1}{-1-x}=-\frac{1}{x+1}[/tex]
Zatem nierówność ma postać:
[tex]x*(-\frac{1}{x+1})\leq -3\\-\frac{x}{x+1} \leq -3\\\frac{x}{x+1} \geq 3\\\frac{x}{x+1}-3\geq 0\\\frac{x-3(x+1)}{x+1}\geq 0\\\frac{-2x-3}{x+1} \geq 0\\ (x+1)(-2x-3)\geq 0\\x \in <-\frac{3}{2} ,-1)[/tex]
Całe rozwiązanie mieści się w dziedzinie równania.
Zadanie 4.
Kolejne pola to oczywiście szereg geometryczny. Pierwsze koło będzie miało promień równy:
[tex]r_{1}=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}*\frac{a\sqrt{3} }{2} =\frac{a\sqrt{3} }{6}[/tex]
Dalej stąd obliczamy długość boku drugiego trójkąta:
[tex]R=\frac{a\sqrt{3} }{6} \\R=\frac{2}{3}h=\frac{a_{2}\sqrt{3} }{3} \\ \frac{a_{2}\sqrt{3} }{3} =\frac{a\sqrt{3} }{6}\\a_{2}=\frac{a\sqrt{3} }{6}*\frac{3}{\sqrt{3} } =\frac{1}{2}a[/tex]
Stąd promień drugiego koła będzie równy:
[tex]r_{2}=\frac{a_{2}\sqrt{3} }{6}=\frac{1}{2}a*\frac{\sqrt{3} }{6}=\frac{a\sqrt{3} }{12}[/tex]
Obliczamy pole pierwszego koła:
[tex]P_{1}=\pi (\frac{a\sqrt{3} }{6})^{2}=\frac{a^{2}}{12}\pi[/tex]
Obliczamy pole drugiego koła:
[tex]P_{2}=\pi (\frac{a\sqrt{3} }{12})^{2}=\frac{a^{2}}{48}\pi[/tex]
Zatem:
[tex]q=\frac{P_{2}}{P_{1}} =\frac{a^{2}}{48} \pi *\frac{12}{a^{2}\pi }=\frac{1}{4}[/tex]
Obliczamy sumę wszystkich pól:
[tex]S=\frac{\frac{a^{2}}{12}\pi }{1-\frac{1}{4} } =\frac{a^{2}\pi }{12} *\frac{4}{3} =\frac{\pi a^{2}}{9}[/tex]
