Rozwiązanie:
Teza:
[tex]\sqrt{logx} +\sqrt{logy} \leq \sqrt{log(xy)^{2}}[/tex]
Założenia:
[tex]x \wedge y>1[/tex]
Dowód:
[tex]\sqrt{logx} +\sqrt{logy} \leq \sqrt{log(xy)^{2}}\\\sqrt{logx} +\sqrt{logy} \leq\sqrt{2log(xy)} \\\sqrt{logx} +\sqrt{logy} \leq \sqrt{2(logx+logy)}[/tex]
Niech [tex]a=logx \wedge b=logy[/tex]. Wówczas:
[tex]\sqrt{a} +\sqrt{b} \leq \sqrt{2(a+b)}[/tex]
Ponieważ obie strony nierówności są dodatnie, to możemy podnieść nierówność stronami do kwadratu:
[tex](\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}\leq 2(a+b)\\a+2\sqrt{ab} +b\leq 2a+2b\\a-2\sqrt{ab} +b\geq 0\\(\sqrt{a} -\sqrt{b})^{2}\geq 0[/tex]
co kończy dowód.
