Rozwiązanie:
[tex]f(x)=x^{5}+2x^{3}+2x+15\\<1,10>[/tex]
Obliczamy pochodną:
[tex]f'(x)=5x^{4}+6x^{2}+2[/tex]
Obliczamy miejsca zerowe pochodnej:
Niech [tex]t=x^{2}[/tex], gdzie [tex]t>0[/tex]:
[tex]f'(t)=5t^{2}+6t+2=0\\\Delta=36-4*5*2<0\\[/tex]
Ponieważ [tex]a>0[/tex], to pochodna przyjmuje tylko i wyłącznie wartości większe od [tex]0[/tex], co oznacza, że funkcja [tex]f[/tex] jest rosnąca w całej swojej dziedzinie. Skoro funkcja jest rosnąca to każdego [tex]x_{1}<x_{2}[/tex] zachodzi warunek:
[tex]f(x_{1})<f(x_{2})[/tex]
Zatem najmniejsza wartość funkcji w podanym przedziale wynosi:
[tex]f(1)=1+2+2+15=20[/tex]
a największa:
[tex]f(10)=100000+2000+20+15=102035[/tex]
