Dany jest trapez prostokątny ABCD
o podstawach AB
i CD
oraz wysokości AD
. Dwusieczna kąta ABC
przecina ramię AD
w punkcie E
oraz dwusieczną kąta BCD
w punkcie F
(zobacz rysunek).
dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD
Wykaż, ze w czworokącie CDEF
sumy miar przeciwległych kątów są sobie równe.
Rozwiązanie:
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wewnątrz trapezu zostały poprowadzone dwie dwusieczne, więc możemy nanieść na rysunek miary kątów α
oraz β
w następujący sposób:
dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD
Krok 2. Wykorzystanie własności trapezu do obliczenia sumy miar kątów α
oraz β
.
Spójrzmy na trapez ABCD
. Jedną z własności trapezu jest to, że suma kątów przy jednym ramieniu jest równa 180°. To oznacza, że:
|∢ABC|+|∢BCD|=180°2α+2β=180°/:2α+β=90°
Gdybyśmy nie pamiętali o tym, że suma miar przy jednym ramieniu trapezu jest równa 180°
, to mogliśmy od 360° odliczyć dwa kąty proste DAB oraz CDA i także doszlibyśmy do wniosku, że |∢ABC|+|∢BCD|=180°
.
Krok 3. Obliczenie miary kątów BFC
oraz EFC
.
Zacznijmy od kąta BFC
. Jego miarę możemy oznaczyć jako 180°−(α+β), bo suma kątów w trójkącie BFC musi być równa 180°. Wiedząc, że α+β=90° okazuje się, że |∢BFC|=90°
.
Kąt EFC
jest przyległy do kąta BFC, a więc jego miara jest równa 180°−90°=90°
.
Krok 4. Zakończenie dowodzenia.
Spójrzmy na czworokąt CDEF
.
Skoro |∢EFC|=90° oraz |∢CDE|=90°, to suma miar pierwszej pary kątów leżących naprzeciwko siebie jest równa 180°
.
Suma kątów w czworokącie musi być równa 360°
, więc to oznacza, że suma kątów w drugiej parze kątów przeciwległych jest równa:
|∢FCD|+|∢DEF|=360°−180°=180°
Suma miar przeciwległych kątów czworokąta CDEF
jest więc jednakowa, co należało udowodnić.
Liczę na najj
