Rozwiązanie:
Na początek wyznaczamy równanie prostej prostopadłej do podanej prostej przechodzącej przez punkt [tex]B[/tex] (zawiera ona drugą przyprostokątną + leży na niej punkt [tex]C[/tex]) :
[tex]a=-\frac{1}{3}\\y=-\frac{1}{3}+b\\B=(13,5)\\5=-\frac{13}{3}+b\\b=\frac{28}{3}\\y=-\frac{1}{3} x+\frac{28}{3}[/tex]
Teraz łatwo możemy znaleźć punkt [tex]C[/tex], jest to przecięcie wyżej wymienionych prostych:
[tex]3x-4=-\frac{1}{3}x+\frac{28}{3} \\9x-12=-x+28\\10x=40\\x=4\\y=3*4-4=8\\C=(4,8)[/tex]
Wiadomo, że również punkt [tex]A[/tex] leży na prostej [tex]y=3x-4[/tex]. Ponadto trójkąt jest równoramienny, więc [tex]|AC|=|BC|[/tex]. Obliczamy [tex]|BC|[/tex] :
[tex]|BC|=\sqrt{(4-13)^{2}+(8-5)^{2}} =\sqrt{81+9} =\sqrt{90} =3\sqrt{10}[/tex]
Teraz możemy obliczyć współrzędne punktu [tex]A[/tex] :
[tex]|AC|=\sqrt{(4-x)^{2}+(8-3x+4)^{2}}=\sqrt{90} \\x^{2}-8x+16+(12-3x)^{2}=90\\x^{2}-8x+16+144-72x+9x^{2}-90=0\\10x^{2}-80x+70=0\\x^{2}-8x+7=0\\\Delta=64-4*1*7=36\\x_{1}=\frac{8-6}{2}=1\\x_{2}=\frac{8+6}{2}=7\\y_{1}=3*1-4=-1\\y_{2}=3*7-4=17\\A=(1,-1) \vee A=(7,17)[/tex]
