Szczegółowe wyjaśnienie:
Jest to układ Cramerowski (zastosujemy wzory Cramera):
[tex]|W|=\left|\begin{array}{cc}k&3k\\1&k\end{array}\right|=k^2-3k[/tex]
[tex]|W_x|=\left|\begin{array}{cc}1&3k\\k-5&k\end{array}\right|=k-3k^2+15k[/tex]
[tex]|W_y|=\left|\begin{array}{cc}k&1\\1&k-5\end{array}\right|=k^2-5k-1[/tex]
Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie gdy:
[tex]|W|\neq 0[/tex]
więc:
[tex]k^2-3k\neq 0\\k(k-3)\neq 0\\k\neq 0 \ \wedge \ k\neq 3[/tex]
Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie dla [tex]k\in \mathbb{R}\backslash\{0;3\}[/tex]
By układ był nieoznaczony wszystkie wyznaczniki muszą być równe zero. Obliczymy więc miejsce zerowe dla każdego wyznacznika i wybierzemy ich część wspólną.
Wyznacznik ogólny:
[tex]k= 0 \ \wedge \ k= 3[/tex]
Wyznacznik zmiennej [tex]x[/tex]:
[tex]-3k^2+16k=0\\k(-3k+16)=0\\k=0 \ \wedge \ k=\frac{16}{3}[/tex]
Wyznacznik zmiennej [tex]y[/tex]:
[tex]k^2-5k-1=0\\\Delta=25-4\cdot1\cdot(-1)=29\\k_1=\frac{5-\sqrt{29} }{2} \\k_2=\frac{5+\sqrt{29} }{2}[/tex]
Nie istnieje taki parametr [tex]k[/tex] dla którego wyzerują się jednocześnie wszystkie wyznaczniki, zatem układ ten nie może być nieoznaczony.
