Prosze o pomoc z matematyki

Zadanie 6. (0-2) Uzasadnij, że jeśli funkcja f R-->R jest rosnąca, to funkcja g(x) =-f(x) jest malejąca w R.


Prosze O Pomoc Z MatematykiZadanie 6 02 Uzasadnij Że Jeśli Funkcja F RgtR Jest Rosnąca To Funkcja Gx Fx Jest Malejąca W R class=

Odpowiedź :

Szczegółowe wyjaśnienie:

Jeżeli funkcja [tex]f(x)[/tex] jest rosnąca w całej dziedzinie, to musi zachodzić poniższa zależność:

[tex]f'(x)>0[/tex]

Przy czym zakładamy, że funkcja ta jest różniczkowalna w całej swojej dziedzinie oraz, że jej pochodna jest ciągła.

Przeanalizujmy więc pochodną funkcji [tex]g(x)[/tex]:

[tex]g(x)=-f(x)[/tex]

[tex]g'(x)=-f'(x)[/tex]

Również zakładamy, że funkcja jest różniczkowalna i ma ciągłą pochodną.

Skoro [tex]f'(x)>0[/tex] to

[tex]-f'(x)<0[/tex]

Zatem:

[tex]g'(x)<0[/tex]

Czyli funkcja [tex]g(x)[/tex] musi być malejąca w całej swojej dziedzinie.