Rozwiązanie:
a)
[tex](n+1)^{2}-n^{2}=n^{2}+2n+1-n^{2}=2n+1[/tex]
Jest to liczba nieparzysta, gdyż [tex]2n[/tex] jest liczbą parzystą (z definicji), a liczba parzysta powiększona o [tex]1[/tex] zawsze da liczbę nieparzystą.
b)
[tex](2n+1)^{2}=4n^{2}+4n+1[/tex]
Widzimy teraz, że ta liczba to suma dwóch liczb parzystych ([tex]4n^{2}[/tex] i [tex]4n[/tex]) powiększona o [tex]1[/tex], zatem jest to liczba nieparzysta.
Można też od razu zauważyć, że kwadrat liczby nieparzystej to liczba nieparzysta.
c)
[tex](n+\frac{1}{2})^{2}-( n-\frac{1}{2})^{2}=(n+\frac{1}{2}-n+\frac{1}{2})(n+\frac{1}{2}+n-\frac{1}{2})=2n[/tex]
Liczba [tex]2n[/tex] jest parzysta, gdyż jest iloczynem liczb [tex]2[/tex] i [tex]n[/tex] (czyli jest podzielna przez [tex]2[/tex]).
d)
[tex]n^{3}-n=n(n^{2}-1)=(n-1)n(n+1)[/tex]
Liczba [tex](n-1)n(n+1)[/tex] jest podzielna przez [tex]6[/tex], gdyż jest iloczynem trzech kolejnych liczb naturalnych, wśród których jest co najmniej jedna podzielna przez [tex]2[/tex] i dokładnie jedna podzielna przez [tex]3[/tex] ([tex]2*3=6[/tex]).
[tex]q.e.d.[/tex]
