Odpowiedź:
[tex]\frac{193\sqrt{193} }{24}[/tex]≅[tex]111,7184[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
1) Wyznaczamy punkty przecięcia się krzywych (będą to nasze granice całkowania).
[tex]\left \{ {{y=x^{2} +3} \atop {y=-x^{2} +5x+24}} \right.[/tex]
[tex]x^{2} +3=-x^{2} +5x+24\\2x^{2} -5x-21=0\\\Delta = 193\\x_1=\frac{5-\sqrt{193} }{4} \\x_2=\frac{5+\sqrt{193} }{4}\\[/tex]
2) Sporządzamy wykres pomocniczy (załącznik). Zauważamy że w naszych granicach całkowania należy odjąć od pola pod parabolą z ramionami skierowanymi w dół pole pod parabolą z ramionami skierowanymi w górę. Szukane pole jest więc różnicą dwóch całek.
3) Wykonujemy obliczenia
[tex]\int\limits^{\frac{5+\sqrt{193} }{4} }_{\frac{5-\sqrt{193} }{4}} {-x^{2} +5x+24-x^{2} -3} \, dx =\int\limits^{\frac{5+\sqrt{193} }{4} }_{\frac{5-\sqrt{193} }{4}} {-2x^{2} +5x+21} \, dx\\[/tex]
Całka z tego wyrażenia wynosi:
[tex][ -\frac{2x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}+21x ]\\[/tex]
Po podstawieniu do granic otrzymujemy nasz wynik:
[tex]A=\frac{193\sqrt{193} }{24}[/tex]
