Zad. 44
Aby nie mylić współczynnika a przy x² z parametrem a, jako parametr przyjmuję liczbę m ∈ R.
----------
x² - (2 + m)x + m² = 0
a = 1 > 0, b = - (2 + m), c = m²
Każde z rozwiązań równania ma być mniejsze od 2m.
Zatem muszą być jednocześnie spełnione warunki:
1° Δ ≥ 0
2° x₀ < 2m
3° x₁ < 2m i x₂ < 2m
1° Δ ≥ 0
Δx = [-(2 + m)]²- 4 · 1 · m² = (2 + m)²- 4m² = 4 + 4m + m² - 4m² = - 3m² + 4m + 4
- 3m² + 4m + 4 ≥ 0
Miejsca zerowe:
- 3m² + 4m + 4 = 0
a = - 3 < 0, b = 4, c = 4
Δm = 4² - 4 · (- 3) · 4 = 16 + 48 = 64; √Δm = √64 = 8
[tex]m_1 = \frac{-4-8}{2 \cdot (-3)} = \frac{-12}{-6} = 2 \\ m_2 = \frac{-4+8}{2 \cdot (-3)} = \frac{4}{-6} =-\frac{2}{3}[/tex]
Uwzględniając nieostry znak nierówności zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi w dół, bo a = - 3 < 0 (rys. 1 w zał. 1). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:
[tex]m \in \langle -\frac{2}{3}, \ 2 \rangle[/tex]
2° x₀ < 2m
[tex]x_0 < 2m \\ \frac{-b}{2a} < 2m \\ \frac{- [-(2 + m)]}{2 \cdot 1}< 2m \\ \frac{2 + m}{2}< 2m \ \ \ |\cdot 2 \\ 2+m < 4m \\ m - 4m < - 2 \\ - 3m < - 2 \ \ \ |:(-3) \\ m > \frac{2}{3}[/tex]
Zatem:
[tex]m \in (\frac{2}{3}, \ + \infty)[/tex]
3° x₁ < 2m i x₂ < 2m
x₁ < 2m i x₂ < 2m
x₁ - 2m < 0 i x₂ - 2m < 0
Jeśli dwie liczby są ujemne (mniejsze od zera), to ich iloczyn jest liczbą dodatnią (większą od zera), a ich suma jest liczbą ujemną (mniejszą od zera). Stąd:
(x₁ - 2m)(x₂ - 2m) > 0 i (x₁ - 2m) + (x₂ - 2m) < 0
3.1° (x₁ - 2m)(x₂ - 2m) > 0
(x₁ - 2m)(x₂ - 2m) > 0
x₁x₂ - 2mx₁ - 2mx₂ + 4m² > 0
x₁x₂ - 2m · (x₁ + x₂) + 4m² > 0
x₁ i x₂ to pierwiastki równania kwadratowego, więc możemy skorzystać ze wzorów Viete'a: [tex]x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} \ i \ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}[/tex]
Stąd:
[tex]x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}= \frac{-[-(2+m)]}{1} = \frac{2+m}{1} =2+m \\x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} =\frac{m^2}{1}=m^2[/tex]
Zatem:
x₁x₂ - 2m · (x₁ + x₂) + 4m² > 0
m² - 2m · (2 + m) + 4m² > 0
m² - 4m - 2m² + 4m² > 0
3m² - 4m > 0
Miejsca zerowe:
[tex]3m^2 - 4m = 0 \\ m \cdot (3m - 4) = 0 \\ m = 0 \ lub \ 3m - 4 = 0 \\\\ m = 0 \\\\ 3m - 4 = 0 \\ 3m = 4 \ \ \ |:3 \\ m = \frac{4}{3} \\ m = 1\frac{1}{3} \\\\ Zatem: \ m = 0 \ lub \ m = 1\frac{1}{3}[/tex]
Uwzględniając ostry znak nierówności zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi w górę, bo a = 3 > 0 (rys. 2 w zał. 1). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:
[tex]m \in (- \infty, \ 0) \cup (1\frac{1}{3}, \ + \infty)[/tex]
3.2° (x₁ - 2m) + (x₂ - 2m) < 0
(x₁ - 2m) + (x₂ - 2m) < 0
x₁ - 2m + x₂ - 2m < 0
x₁ + x₂ - 4m < 0
Korzystamy ze wzorów Viete'a (patrz warunek 3.1°) i otrzymujemy:
2 + m - 4m < 0
- 3m < - 2 |:(-3)
m > ²/₃
Zatem:
[tex]m \in (\frac{2}{3}, \ + \infty)[/tex]
Parametr m musi spełniać jednocześnie wszystkie ustalone warunki, stąd (rys. w zał. 2): [tex]\langle -\frac{2}{3}, \ 2 \rangle \cap (\frac{2}{3}, \ + \infty) \cap [(- \infty, \ 0) \cup (1\frac{1}{3}, \ + \infty)] \cap (\frac{2}{3}, \ + \infty) = (1\frac{1}{3}, \ 2 \rangle[/tex]
Zatem: [tex]m \in (1\frac{1}{3}, \ 2 \rangle[/tex]
Uwzględniając to, że w treści zadania parametr m oznaczono jako a, zatem:
Odp. [tex]a \in (1\frac{1}{3}, \ 2 \rangle[/tex]
