Ćw. 2
a)
Rozwiązanie algebraiczne układu równań
[tex]\begin{cases} 4x+y + 2 = 0 \\ y = x^2 - 2x - 1 \end{cases} \\\\ \begin{cases} 4x+x^2 - 2x - 1 + 2 = 0 \\ y = x^2 - 2x - 1 \end{cases} \\\\[/tex]
Rozwiązujemy I równanie układu
4x + x² - 2x - 1 + 2 = 0
x² + 2x + 1 = 0
Δ = 2² - 4 · 1 · 1 = 4 - 4 = 0
[tex]x_0=\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{- 2}{2} = - 1[/tex]
[tex]\begin{cases} x = - 1\\ y =(-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 1\end{cases} \\\\ \begin{cases} x = - 1\\ y =1 + 2 - 1\end{cases} \\\\ \begin{cases} x = - 1 \\ y =2 \end{cases}[/tex]
Odp. Rozwiązaniem układu jest para liczb x = - 1 i y = 2.
Interpretacja geometryczna układu równań
[tex]\begin{cases} 4x+y + 2 = 0 \\ y = x^2 - 2x - 1 \end{cases} \\\\ \begin{cases} y=- 4x - 2 \\ y = x^2 - 2x - 1 \end{cases}[/tex]
Układ równań określa wzajemne położenie prostej o równaniu y = - 4x - 2 i paraboli o równaniu y = x² - 2x - 1 (rys. w zał. 1). Prosta i parabola przecinają się w jednym punkcie (- 1, 2).
b)
Rozwiązanie algebraiczne układu równań
[tex]\begin{cases} x + \frac{1}{2}y + 1 = 0 \\ y = - \frac{1}{2}x^2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} x + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}x^2)+ 1 = 0 \\ y = - \frac{1}{2}x^2 \end{cases}[/tex]
Rozwiązujemy I równanie układu
[tex]x + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{1}{2}x^2)+ 1 = 0 \\\\ x - \frac{1}{4}x^2+ 1 = 0 \\ - \frac{1}{4}x^2+x + 1 = 0 \ \ \ |\cdot (-4) \\ x^2 - 4x - 4 = 0 \\ \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 16 + 16 = 32; \ \sqrt{\Delta} = \sqrt{32} =\sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2} \\ x_1 = \frac{-(-4) - 4\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{4- 4\sqrt{2}}{2}=2- 2\sqrt{2} \\ x_2=\frac{-(-4)+4\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{4+4\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}[/tex]
[tex]\begin{cases} x=2-2\sqrt{2} \\ y = - \frac{1}{2} \cdot (2-2\sqrt{2})^2 \end{cases} \ lub \ \begin{cases} x=2+2\sqrt{2} \\ y = - \frac{1}{2} \cdot (2+2\sqrt{2})^2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} x=2-2\sqrt{2} \\ y = - \frac{1}{2} \cdot (4-8\sqrt{2} +8) \end{cases} \ lub \ \begin{cases} x=2+2\sqrt{2} \\ y = - \frac{1}{2} \cdot (4+8\sqrt{2} +8) \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases} x=2-2\sqrt{2} \\ y = -2+4\sqrt{2}-4 \end{cases} \ lub \ \begin{cases} x=2+2\sqrt{2} \\ y = -2-4\sqrt{2}-4 \end{cases} \\\\ \begin{cases} x=2-2\sqrt{2} \\ y = -6+4\sqrt{2} \end{cases} \ lub \ \begin{cases} x=2+2\sqrt{2} \\ y = -6-4\sqrt{2} \end{cases}[/tex]
Odp. Rozwiązaniem układu są dwie pary liczb x = 2 - 2√2 i y = - 6 + 4√2 oraz x = 2 + 2√2 i y = - 6 - 4√2.
Interpretacja geometryczna układu równań
[tex]\begin{cases} x + \frac{1}{2}y + 1 = 0 \\ y = - \frac{1}{2}x^2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} \frac{1}{2}y = - x - 1 \ \ \ |\cdot 2 \\ y = - \frac{1}{2}x^2 \end{cases} \\\\ \begin{cases} y =-2x -2 \\ y = - \frac{1}{2}x^2 \end{cases}[/tex]
Układ równań określa wzajemne położenie prostej o równaniu y = - 2x - 2 i paraboli o równaniu y = - ¹/₂ x² (rys. w zał. 2). Prosta i parabola przecinają się w dwóch punktach (2 - 2√2, - 6 +4√2) i (2 + 2√2, - 6 - 4√2).
