Zad. 30
Szukana prosta: k: y = ax + b
l: - 2x + y - 1 = 0 ⇒ l: y = 2x + 1
k: y = ax + b || l: y = 2x + 1
Proste są równoległe, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych są równe. Zatem:
a = 2 i k: y = 2x + b
A = (- 4, 1) ∈ k: y = 2x + b, czyli współrzędne punktu A spełniają równanie prostej k. Stąd:
2 · (- 4) + b = 1
- 8 + b = 1
b = 1 + 8
b = 9
Zatem: k: y = 2x + 9
Odp. k: y = 2x + 9
Zad. 31
f(x) = 9x² + bx + 1
a = 9, c = 1
Funkcja kwadratowa ma jedno miejsce zerowe, gdy Δ = 0. Zatem
Δ = b² - 4 · 9 · 1 = b² - 36
b² - 36 = 0
b² = 36
b = √36 lub b = - √36
b = 6 lub b = - 6
Odp. b = 6 lub b = - 6.
Zad. 32
(x - 2)² < 4
Miejsca zerowe:
(x - 2)² = 4
x - 2 = √4 lub x - 2 = - √4
x - 2 = 2 lub x - 2 = - 2
x = 2 + 2 lub x = - 2 + 2
x = 4 lub x = 0
Uwzględniając ostry znak nierówności zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi w górę, bo a = 1 > 0 (rys. 1 w zał. 1). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności: x ∈ (0, 4).
Odp. x ∈ (0, 4).
Zad. 33
S = (5, - 2) ∈ y = (m - 1)x + 3
Punkt S należy do wykresu funkcji f, czyli jego współrzędne spełniają równanie prostej będącej wykresem tej funkcji. Stąd:
(m - 1) · 5 + 3 = - 2
5m - 5 + 3 = - 2
5m - 2 = - 2
5m = - 2 + 2
5m = 0 |:5
m = 0
Odp. m = 0.
Zad. 34
- 2x² - 5x < - 3
- 2x² - 5x + 3 < 0
Miejsca zerowe:
- 2x² - 5x + 3 = 0
a = - 2, b = - 5, c = 3
Δ = (- 5)² - 4 · (- 2) · 3 = 25 + 24 = 49; √Δ = √49 = 7
[tex]x_1 = \frac{-(-5) - 7}{2 \cdot (-2)} =\frac{5-7}{-4} =\frac{-2}{-4} =\frac{1}{2} \\ x_2 = \frac{-(-5) + 7}{2 \cdot (-2)} =\frac{5+7}{-4} =\frac{12}{-4} =- 3[/tex]
Uwzględniając ostry znak nierówności zaznaczamy miejsca zerowe na osi i rysujemy parabolę z ramionami skierowanymi w dół, bo a = - 2 < 0 (rys. 2 w zał. 1). Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności:
x ∈ (- ∞, - 3) ∪ (¹/₂, + ∞)
Odp. x ∈ (- ∞, - 3) ∪ (¹/₂, + ∞).
Zad. 35
Ciąg arytmetyczny: - 1, - 3, - 5, ....
a₁ = - 1, a₂ = - 3, a₃ = - 5
Różnica ciągu (patrz zał. 2):
r = a₂ - a₁ = - 3 - (- 1) = - 3 + 1 = - 2
r = - 2
n-ty wyraz ciągu (patrz zał. 2):
aₙ = - 1 + (n - 1) · (- 2) = - 1 - 2n + 2 = - 2n + 1
aₙ = - 2n + 1
Zatem:
a₁₀₀ = - 2 · 100 + 1 = - 200 + 1 = - 199
a₁₀₀ = - 199
Odp. r = - 2, a₁₀₀ = - 199.
