Odpowiedź:
zad 1
a)
9 - x² = 0
(3 - x)(3 + x) = 0
3 - x = 0 ∨ 3 + x = 0
- x = - 3 ∨ x = - 3
x = 3 ∨ x = - 3
b)
5x² = 125
5x² - 125 = 0
5(x² - 25) = 0
(x - 5)(x + 5) = 0
x - 5 = 0 ∨ x + 5 = 0
x = 5 ∨ x = - 5
c)
x² - 5x = 0
x(x - 5) = 0
x = 0 ∨ x - 5 = 0
x = 0 ∨ x = 5
d)
4x - 3x² = 0
x(4 - 3x) = 0
x = 0 ∨ 4 - 3x = 0
x = 0 ∨ - 3x = - 4
x = 0 ∨ 3x = 4
x = 0 ∨ x = 4/3 = 1 1/3
e)
x² - 7x + 6 = 0
a = 1 , b = - 7 , c = 6
Δ = b² - 4ac = (- 7)² - 4 * 1 * 6 = 49 - 24 = 25
√Δ = √25 = 5
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (7 - 5)/2 = 2/2 = 1
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (7 + 5)/2 = 12/2 = 6
f)
x - 2x² = x² - 4
- 2x² - x² + x + 4 = 0
- 3x² + x + 4 = 0
a = - 3 , b = 1 , c = 4
Δ = b² - 4ac = 1² - 4 * (- 3) * 4 = 1 + 48 = 49
√Δ = √49 = 7
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (- 1 - 7)/(- 6) = - 8/(- 6) = 8/6 = 1 2/6 = 1 1/3
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 1 + 7)/(- 6) = - 6/6 = - 1
zad 3
y = 2x² - 5x - 3
Obliczamy miejsca zerowe
2x² - 5x - 3 = 0
a = 2 , b = - 5 , c = - 3
Δ = b² - 4ac = (- 5)² - 4 * 2 * (- 3) = 25 + 24 = 49
√Δ = √49 = 7
x₁ = (- b - √Δ)/2a = (5 - 7)/4 = - 2/4 = - 1/2
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (5 + 7)/4 = 12/4 = 3
Postać iloczynowa
y = a(x - x₁)(x - x₂) = 2(x + 1/2)(x - 3)
Postać kanoniczna
y = a(x - p)² + q
p = - b/2a = 5/4 = 1 1/4
q = - Δ/4a = - 49/8 = - 6 1/8
y = 2(x - 1 1/4)² - 6 1/8
zad 4
a)
9x² - 16 < 0
a = 9 , b = 0 , c = - 16
(3x - 4)(3x + 4) < 0
obliczamy miejsca zerowe
(3x - 4)(3x + 4) = 0
3x - 4 = 0 ∨ 3x + 4 = 0
3x = 4 ∨ 3x = - 4
x = 4/3 ∨ x = - 4/3
x = 1 1/3 ∨ x = - 1 1/3
Ponieważ a = 9 > 0 więc parabola ma ramiona skierowane do góry , a wartości mniejsze od 0 znajdują się pod osią OX
x ∈ (- ∞ , - 1 1/3 ) ∪ ( 1 1/3 , + ∞ )
b)
3x² + 5x ≤ 0
a = 3 , b = 5
obliczamy miejsca zerowe
3x² + 5x = 0
x(3x + 5) = 0
x = 0 ∨ 3x + 5 = 0
x = 0 ∨ 3x = - 5
x = 0 ∨ x = - 5/3
x = 0 ∨ x = - 1 2/3
Ponieważ a = 3 > 0 to ramiona paraboli skierowane do góry , a wartości większe od 0 znajdują się nad osią OX
x ∈ (- ∞ , - 1 2/3 > ∪ < 0 , + ∞ )
c)
- (x - 3)(x - 1 1/2) ≤ 0
a = - 1
obliczamy miejsca zerowe
x - 3 = 0 ∨ x - 1 1/2 = 0
x = 3 ∨ x = 1 1/2
Ponieważ a = - 1 < 0 wiec ramiona paraboli skierowane do dołu , a wartości mniejsze od 0 znajdują się pod osią OX
x ∈ (- ∞ , 1 1/2 > ∪ < 3 , + ∞ )
