Zad. 8
Oznaczenia jak na rys. w zał. 1.
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa o polu podstawy Pp i polu powierzchni bocznej Pb jest równe:
Pc = 2 · Pp + Pb
Objętość graniastosłupa o polu podstawy Pp i wysokości H jest równa:
V = Pp · H
Korzystamy z zależności między bokami w trójkątach prostokątnych z kątami 30°. 60° i 90° oraz z kątami 45°, 45° i 90° (patrz zał. 2)
----------
Długość krawędzi bocznej (wysokości) graniastosłupa: H = 20
a)
Podstawą graniastosłupa jest romb o boku a i wysokości h.
Wysokość h to dłuższa przyprostokątna (leży naprzeciw kąta 60°) w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej a. Zatem:
[tex]h = \frac{a}{2} \cdot \sqrt{3}= \frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
[tex]P_c = 2 \cdot P_p + P_b = 2 \cdot a \cdot h + 4 \cdot a \cdot H = \not{2}^1 \cdot a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{\not{2}_1} + 4 \cdot a \cdot 20 = a^2\sqrt{3}+ 80a[/tex]
Pc = a²√3 + 80a
Objętość graniastosłupa
[tex]V = P_p \cdot H = a \cdot h \cdot H = a \cdot \frac{a\sqrt{3}}{\not{2}_1} \cdot \not{20}^{10} = 10a^2\sqrt{3}[/tex]
V = 10a²√3
b)
Podstawą graniastosłupa jest równoległobok o bokach b i c oraz wysokości h.
Wysokość h to przyprostokątna w trójkącie prostokątnym z kątami 45°, 45° i 90° o przeciwprostokątnej b. Zatem:
[tex]h =\frac{b}{\sqrt{2}} =\frac{b}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} =\frac{b\sqrt{2}}{2}[/tex]
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
[tex]P_c = 2 \cdot P_p + P_b = 2 \cdot c \cdot h + 2 \cdot b \cdot H + 2 \cdot c \cdot H = \not{2}^1 \cdot c \cdot \frac{b\sqrt{2}}{\not{2}_1} + 2 \cdot b \cdot 20 + 2 \cdot b \cdot 20= \\ = bc\sqrt{2}+ 40b + 40c = bc\sqrt{2}+ 40 \cdot (b + c)[/tex]
Pc = bc√2 + 40 · (b + c)
Objętość graniastosłupa
[tex]V = P_p \cdot H = c \cdot h \cdot H = c \cdot \frac{b\sqrt{2}}{\not{2}_1} \cdot \not{20}^{10} = 10bc\sqrt{2}[/tex]
V = 10bc√2
c)
Podstawą graniastosłupa jest trapezem równoramiennym o podstawach e i f oraz ramionach c i wysokości h.
Wysokości trapezu dzielą dolną podstawę na 3 części, takie, że f = 2x + e. Zatem, x będący krótszą przyprostokątną (leży naprzeciw kąta 30°) w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej c ma długość:
[tex]x = \frac{f - e}{2}[/tex]
Stąd, przeciwprostokątna c w tym trójkącie (ramię podstawy graniastosłupa) ma długość:
[tex]c = 2x = \not{2}^1 \cdot \frac{f- e}{\not{2}_1}=f - e[/tex]
Natomiast wysokość trapezu, czyli dłuższa przyprostokątna w tym trójkącie ma długość:
[tex]h = x \cdot \sqrt{3} = \frac{f - e}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{(f - e) \cdot \sqrt{3}}{2}[/tex]
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
[tex]P_c = 2 \cdot P_p + P_b = 2 \cdot \frac{f+e}{2} \cdot h + f \cdot H + e \cdot H +2 \cdot c \cdot H = \not{2}^1 \cdot \frac{f +e}{\not{2}_1} \cdot \frac{(f - e)\sqrt{3}}{2} +f \cdot 20 + \\ + e \cdot 20 + 2 \cdot (f-e) \cdot 20=\frac{(f+e)(f - e)\sqrt{3}}{2} + 20f + 20f + 40(f - e) = \frac{(f^2- e^2)\sqrt{3}}{2} + \\ + 20f + 20f + 40f - 40e= \frac{(f^2- e^2)\sqrt{3}}{2} +60f - 20e = \frac{(f^2- e^2)\sqrt{3}}{2} +20 \cdot (3f -e)[/tex]
Pc = ¹/₂ · (f² - e²)√3 + 20 · (3f - e)
Objętość graniastosłupa
[tex]V = P_p \cdot H =\frac{f + e}{2} \cdot h \cdot H =\frac{f + e}{2} \cdot \frac{(f - e)\sqrt{3}}{2} \cdot 20 = \frac{(f+e)(f - e)\sqrt{3}}{\not{4}_1} \cdot \not{20}^5 = \\ = (f^2-e^2)\sqrt{3} \cdot 5 = 5 \cdot (f^2-e^2)\sqrt{3}[/tex]
V = 5 · (f² - e²)√3
