Odpowiedź:
Twierdzenie trzeba udowodnić w dwie strony. Najpierw założymy, że trójkąt jest równoramienny i pokażemy, że wysokości opuszczone na jego ramiona są równej długości. Następnie założymy, że wysokości opuszczone na ramiona trójkąta są równej długości i pokażemy, że wtedy trójkąt jest równoramienny.
1st case: Zakładamy, że trójkąt [tex]ABC[/tex] jest równoramienny. Z definicji trójkąta równoramiennego wynika, że kąty przy podstawie są tej samej miary [tex]\alpha[/tex] oraz z definicji wysokości jest ona opuszczona pod kątem prostym. Z cechy przystawania trójkątów kąt-bok-kąt wynika, że trójkąty [tex]ABD[/tex] oraz [tex]ABE[/tex] są przystające, czyli [tex]c=b[/tex].
2nd case: Zakładamy, że wysokości [tex]|AE|[/tex] oraz [tex]|BD|[/tex] są tej samej długości oraz oczywiście, że są opuszczone pod kątem prostym. Wówczas trójkąty [tex]ABD[/tex] oraz [tex]ABE[/tex] są przystające na podstawie cechy przystawania trójkątów bok-kąt-bok, co oznacza, że [tex]\alpha=\beta[/tex], co na mocy definicji oznacza, że trójkąt [tex]ABC[/tex] jest równoramienny.[tex]\square[/tex]
