Zad. 5
Współrzędne końców odcinka AB: A = (- 4, 2) i B = (x, y)
Współrzędne środka odcinka AB: C = (1, 3)
Korzystamy ze wzoru na współrzędne środka odcinka AB o końcach w punktach A = (x₁, y₁) i B = (x₂, y₂):
[tex]S=(\frac{x_1+x_2}{2}, \ \frac{y_1+y_2}{2})[/tex]
[tex](\frac{-4+x}{2}, \ \frac{2+y}{2}) =(1, \ 3) \\ Stad: \\ \frac{-4+x}{2} = 1 \ \ \ |\cdot 2 \ i \ \frac{2+y}{2}=3 \ \ \ |\cdot 2 \\ -4+x = 2 \ i \ 2+y = 6 \\ x = 2+4 \ i \ y = 6 - 2 \\ x = 6 \ i \ y = 4 \\ Zatem: \\ B = (6, \ 4)[/tex]
Odp. D
Zad. 6
Wykres funkcji y = a(x- p)² + q otrzymujemy w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = ax², gdzie a ≠ 0, o wektor [p, q], czyli p jednostek wzdłuż osi OX oraz o q jednostek wzdłuż osi OY.
Jeżeli p > 0, to wykres przesuwamy w prawo, a gdy p < 0, to w lewo, natomiast jeżeli q > 0, to wykres przesuwamy w górę, a gdy q < 0, to w dół.
y = - 2(x - 3)² + 7
a = - 2, p = 3, q = 7
Zatem wykres funkcji y = a(x- 3)² + 7 otrzymujemy w wyniku przesunięcia wykresu funkcji y = - 2x² o wektor [3, 7]
Odp. A
Zad. 7
- (x + 1)²(x - 5)(x + 3) > 0
Miejsca zerowe:
- (x + 1)²(x - 5)(x + 3) = 0
- (x + 1)² = 0 ∨ x - 5 = 0 ∨ x + 3 = 0
- (x + 1)² = 0 |·(-1)
(x + 1)² = 0
x + 1 = 0
x = - 1 (pierwiastek 2-krotny)
x - 5 = 0
x = 5 (pierwiastek 1-krotny)
x + 3 = 0
x = - 3 (pierwiastek 1-krotny)
Uwzględniając ostry znak nierówności, zaznaczamy miejsca zerowe: - 3, - 1 i 5 na osi liczbowej i rysujemy wykres wielomianu (rys. w zał. 1) zgodnie ze schematem opisanym w zał. 2. Z wykresu odczytujemy rozwiązanie nierówności: x ∈ (- 3, - 1) ∪ (- 1, 5)
Odp. C
Zad. 8
y = ax + b ⊥ y = - 4x + 1 i P = (¹/₂, 0) ∈ y = ax + b
Proste są prostopadłe, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi - 1. Stąd:
a · (- 4) = - 1 |:(- 4)
a = ¹/₄
Zatem:
P = (¹/₂, 0) ∈ y = ¹/₄ x + b
Jeżeli punkt należy do prostej, to współrzędne tego punktu spełniają równanie tej prostej. Stąd:
¹/₄ · ¹/₂ + b = 0
¹/₈ + b = 0
b = - ¹/₈
Odp. B
