|x| + |1 - x| + |x - 3| ≥ 11 - 2x
1. Ustalamy przedziały, w których będziemy rozpatrywać rozwiązania nierówności
x = 0 1 - x = 0 x - 3 = 0
x = 0 - x = - 1 |·(-1) x = 3
x = 0 x = 1 x = 3
Przedziały: (- ∞, 0), ⟨0, 1), ⟨1, 3), ⟨3, + ∞)
2. Rozwiązujemy nierówność w ustalonych przedziałach
|x| + |1 - x| + |x - 3| ≥ 11 - 2x
a) x ∈ (- ∞, 0)
x < 0 to |x| = - x
1 - x > 0 to |1 - x| = 1 - x
x - 3 < 0 to |x - 3| = - (x - 3) = - x + 3
- x + 1 - x - x + 3 ≥ 11 - 2x
- 3x + 4 ≥ 11 - 2x
- 3x + 2x ≥ 11 - 4
- x ≥ 7 |·(-1)
x ≤ - 7
x ∈ (- ∞, - 7⟩
Uwzględniając przedział, w którym rozpatrujemy rozwiązanie nierówności otrzymujemy: (- ∞, 0) ∩ (- ∞, - 7⟩ = (- ∞, - 7⟩
Zatem: x ∈ (- ∞, - 7⟩
b) x ∈ ⟨0, 1)
x ≥ 0 to |x| = x
1 - x ≥ 0 to |1 - x| = 1 - x
x - 3 < 0 to |x - 3| = - (x - 3) = - x + 3
x + 1 - x - x + 3 ≥ 11 - 2x
- x + 4 ≥ 11 - 2x
- x + 2x ≥ 11 - 4
x ≥ 7
x ∈ ⟨7, + ∞)
Uwzględniając przedział, w którym rozpatrujemy rozwiązanie nierówności otrzymujemy: ⟨0, 1) ∩ ⟨7, + ∞) = ∅
Zatem: x ∈ ∅
c) x ∈ ⟨1, 3)
x > 0 to |x| = x
1 - x ≤ 0 to |1 - x| = - (1 - x) = - 1 + x
x - 3 ≤ 0 to |x - 3| = - (x - 3) = - x + 3
x - 1 + x - x + 3 ≥ 11 - 2x
x + 2 ≥ 11 - 2x
x + 2x ≥ 11 - 2
3x ≥ 9 |:3
x ≥ 3
x ∈ ⟨3, + ∞)
Uwzględniając przedział, w którym rozpatrujemy rozwiązanie nierówności otrzymujemy: ⟨1, 3) ∩ ⟨3, + ∞) = ∅
Zatem: x ∈ ∅
d) x ∈ ⟨3, + ∞)
x > 0 to |x| = x
1 - x < 0 to |1 - x| = - (1 - x) = - 1 + x
x - 3 ≥ 0 to |x - 3| = x - 3
x - 1 + x + x - 3 ≥ 11 - 2x
3x - 4 ≥ 11 - 2x
3x + 2x ≥ 11 + 4
5x ≥ 15 |:5
x ≥ 3
x ∈ ⟨3, + ∞)
Uwzględniając przedział, w którym rozpatrujemy rozwiązanie nierówności otrzymujemy: ⟨3, + ∞) ∩ ⟨3, + ∞) = ⟨3, + ∞)
Zatem: x ∈ ⟨3, + ∞)
3. Ustalamy ostateczne rozwiązanie nierówności |x| + |1 - x| + |x - 3| ≥ 11 - 2x, które jest sumą rozwiązań w rozpatrywanych przedziałach:
(- ∞, - 7⟩ ∪ ∅ ∪ ∅ ∪ ⟨3, + ∞) = (- ∞, - 7⟩ ∪ ⟨3, + ∞)
Zatem:
x ∈ (- ∞, - 7⟩ ∪ ⟨3, + ∞)
