Zad. 6
[tex]\begin{cases} 5x +2y= 13 \ \ \ |\cdot (-3) \\ 7x + 3y = 17 \ \ \ |\cdot 2 \end{cases} \\\\ \underline{\begin{cases} -15x-6y= -39 \\ 14x + 6y = 34 \end{cases}} \ \ \ |+ \\\\ -x = - 5 \ \ \ |\cdot (-1) \\ x = 5 \\\\ 5x + 2y = 13 \\ 5 \cdot 5 + 2y = 13 \\ 25 + 2y = 13 \\2y = 12-25 \\ 2y = - 12 \ \ \ |:2 \\ y = - 6 \\\\ \begin{cases} x = 5 \\ y= - 6 \end{cases}[/tex]
Odp. x = 5 i y = - 6
Zad. 7
Współczynniki wielomianu to liczby rzeczywiste stojące przy poszczególnych potęgach zmiennej x ∈ R.
Stopień wielomianu to wykładnik najwyższej potęgi, przy której współczynnik jest różny od zera i oznaczamy symbolem st.W(x).
W(x) = 3x² - 5x⁴ + x - 8 + 4x³ = - 5x⁴ + 4x³ + 3x² + x - 8
Współczynniki wielomianu: a₄ = - 5, a₃ = 4, a₂ = 3, a₁ = 1, a₀ = - 8
Stopień wielomianu: st.W(x) = 4
Zad. 8
W(x) = 4x³ - 5x² + 3x, P(x) = - 3x³ + 5x - 2, Q(x) = x³ - 2x² + 6
a)
W(x) · P(x) = (4x³ - 5x² + 3x) · (- 3x³ + 5x - 2) = - 12x⁶ + 20x⁴ - 8x³ + 15x⁵ - 25x³ + 10x² - 9x⁴ + 15x² - 6x = - 12x⁶ + 15x⁵ + 11x⁴ - 33x³ + 25x² - 6x
b)
Q(x) · P(x) = (x³ - 2x² + 6) · (- 3x³ + 5x - 2) = - 3x⁶ + 5x⁴ - 2x³ + 6x⁵ - 10x³ + 4x² - 18x³ + 30x - 12 = - 3x⁶ + 6x⁵ + 5x⁴ - 30x³ + 4x² + 30x - 12
c)
W(x) · Q(x) = (4x³ - 5x² + 3x) · (x³ - 2x² + 6) = 4x⁶ - 8x⁵ + 24x³ - 5x⁵ + 10x⁴ - 30x² + 3x⁴ - 6x³ + 18x = 4x⁶ - 13x⁵ + 13x⁴ + 18x³ - 30x² + 18x
----------
a)
(x + 2) · (x³ - x + 1) + (x² + 4)= x⁴ - x² + x + 2x³ - 2x + 2 + x² + 4 = x⁴ + 2x³ - x + 6
b)
2 · (x² - 3x + 1) - (x² - x) · (x⁴ + x + 1) = 2x² - 6x + 2 - (x⁶ + x³ + x² - x⁵ - x² - x) = 2x² - 6x + 2 - x⁶ - x³ - x² + x⁵ + x² + x = - x⁶ + x⁵ - x³ + 2x² - 5x + 2
c)
(x - 2) · (x² + x + 1) + (x⁴ + 2x - 1) · (x³ - x) = x³ + x² + x - 2x² - 2x - 2 + x⁷ - x⁵ + 2x⁴ - 2x² - x³ + x = x⁷ - x⁵ + 2x⁴ - 3x² - 2
d)
(x² + 2) · (2 - x) - (x² + x - 1) · (x + 2) = 2x² - x³ + 4 - 2x - (x³ + 2x² + x² + 2x - x - 2) = 2x² - x³ + 4 - 2x - x³ - 2x² - x² - 2x + x + 2 = - 2x³ - x² - 3x + 6
Zad. 9
a)
(a + 3b)² - (a - 3b)² = a² + 6ab + 9b² - (a² - 6ab + 9b²) = a² + 6ab + 9b² - a² + 6ab - 9b² = 12ab
b)
(a + 2)³ - (a - 2)³ = a³ + 6a² + 12a + 8 - (a³ - 6a² + 12a - 8) = a³ + 6a² + 12a + 8 - a³ + 6a² - 12a + 8 = 12a² + 16
c)
(y - √5)(y² + 5)(y + √5) = (y - √5)(y + √5)(y² + 5) = (y² - 5)(y² + 5) = y⁴ - 25
