Z tw. Lagrange’a wynika, że dla każdego [tex]k>0[/tex] istnieje [tex]\xi\in(k,k+1)[/tex], że:
[tex]$\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\frac{1}{2\sqrt{\xi} } $[/tex]
zatem
[tex]$\frac{1}{2\sqrt{k+1} } \leq \sqrt{k+1}-\sqrt{k}\leq \frac{1}{2\sqrt{k} } $[/tex]
Czyli równoważnie:
[tex]$\frac{3}{2\sqrt{k+1} } \leq 3(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \leq \frac{3}{2\sqrt{k} } $[/tex]
A jak łatwo sprawdzić dla [tex]k>4/5[/tex] zachodzi nierówność:
[tex]$\frac{1}{\sqrt{k} } \leq \frac{3}{2\sqrt{k+1} } $[/tex]
bo to jest równoważne z:
[tex]$ 2\sqrt{k+1} \leq 3\sqrt{k}$[/tex]
a to z jest równoważne z:
[tex]$ 4k+4 \leq 9k$[/tex]
i wychodzi to co co trzeba... zatem nierówność jest prawdziwa dla [tex]k>4/5[/tex] bo prowadziła jest nawet mocniejsza nierówność:
[tex]$\frac{1}{\sqrt{k} } \leq \frac{3}{2\sqrt{k+1} } \leq 3(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \leq \frac{3}{2\sqrt{k} } $[/tex]
przypadek równości jeszcze zostaje do omówienie ale w twierdzeniu Lagrange’a i tak są przedziały otwarte więc nie zajdzie poza tym można po prostu sprawdzić kiedy zachodzi równość. Więc dla naturalnych [tex]k[/tex] koniec dowodu.
