Odpowiedź:
Z.1
a) [tex]f(x) = \left \{ {{-x^2+x, dla x\geq 0} \atop {5x,dla x<0}} \right.[/tex]
[tex]\lim_{0^{+} \to \infty} -x^2+x = -0+0 = 0[/tex] (podkładamy 0 do równania)
[tex]\lim_{0{-} \to \infty} 5x = 0[/tex]
[tex]f(0) = -x^2+x = 0[/tex]
Funkcja jest jak najbardziej ciągła.
b)
- [tex]f(x) = x^2-2[/tex] dla x<-1
[tex]\lim_{-1^{-} \to \infty} x^2-2 = 1-2 = -1[/tex]
-f(-1) = -1
-f(x) = x-2 dla x> -1
[tex]\lim_{-1^{+} \to \infty} x-2 = -1 -2 = -3[/tex]
Funkcja nie jest ciągła -3 [tex]\neq[/tex] -1
Z.2
Liczymy lim pierwszego i trzeciego warunku.
[tex]\lim_{-2^{-} \to \infty} 2x-3 = -4 -3 = -7[/tex]
[tex]\lim_{1^{+} \to \infty} x^2+2 = 1+2 = 3[/tex]
Teraz liczymy
[tex]f(-2) = -2a+b \\-2a+b = -7\\-2a = -7-b\\a=\frac{7+b}{2}[/tex]
[tex]f(1) = a+b = 3 \\\frac{7+b}{2}+b = 3\\ \frac{7+b}{2}+\frac{2b}{2}=3\\\frac{3b+7}{2}=3\\3b+7=6\\3b=-1\\b=-\frac{1}{3}[/tex]
Czyli nasze a wynosi :
[tex]a = \frac{7-\frac{1}{3} }{2} = \frac{\frac{21}{3}-\frac{1}{3} }{2}=\frac{20}{3}*\frac{1}{2}=\frac{20}{6}= \frac{10}{3}[/tex]
Teraz sprawdźmy czy nam wyjdzie
[tex]f(-2) = \frac{10}{3}*(-2)-\frac{1}{3} = -\frac{20}{3}-\frac{1}{3}=\frac{-21}{3} = -7\\f(1) =\frac{10}{3}*(1)-\frac{1}{3} = \frac{9}{3}=3[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
