Odpowiedź :
Wyznacz takie liczby x,y aby ciąg (27,x,y) był geometryczny, a ciąg (x,y,3) - arytmetyczny.
27,x,y - kolejne wyrazy ciagu geometrycznego
x,y, 3 - kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego
Korzystam z własności ciągu geometrycznego : x : 27 = y :x
korzystam z własnosci ciagu arytmetycznego : y-x = 3-y
Powstaje układ 2 równań z 2 niewiadomymi;
y-x = 3-y
x : 27 = y :x
y-x+y =3
27y = x²
2y -x =3
27y =x²
-x = 3-2y /:(-1)
27y = x²
x =2y -3
27y =(2y-3)²
x =2y -3
27y = 4y² -12y +9
x =2y -3
27y - 4y² +12y -9 =0
x= 2y -3
4y²-12y +9 -27y =0
x =2y -3
4y² -39y +9 =0
z drugiego równania obliczam Δ i y₁ oraz y₂
a =4
b =-39
c= 9
Δ = (b²-4ac)
Δ = (-39)² -4*4*9= 1521 -144 =1377
√Δ =√1377 = √81*√17
√Δ= 9√17
y₁ = (-b-√Δ):2a
y₁=[-(-39) -9√17)]: 2*4 = (39-9√17) :8
y₂ = (-b-√Δ):2a
y₂ = =[-(-39) +9√17)]: 2*4 = (39+9√17) :8
teraz obliczam x₁ i x₂
x₁ = 2y -3
x₁ = 2(39-9√17) :8 - 3 =(39-9√17) :4 -3 = 39/4 - (9/4)*√17 -3 =27/4 -(9/4)*√17
x₁ = (9/4)*[ 3 -√17]
x₂ =2 (39+9√17) :8 -3 = (39+9√17) :4 -3 = 39/4 +(9/4)*√17 -3 =27/4+(9/4)*√17
x₂ = (9/4)*[ 3 +√17]
Odp.
x₁ = (9/4)*[ 3 -√17] i y ₁=(39-9√17) :8 lub
x₂ = (9/4)*[ 3 +√17] i y ₂ = (39+9√17) :8
27,x,y - kolejne wyrazy ciagu geometrycznego
x,y, 3 - kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego
Korzystam z własności ciągu geometrycznego : x : 27 = y :x
korzystam z własnosci ciagu arytmetycznego : y-x = 3-y
Powstaje układ 2 równań z 2 niewiadomymi;
y-x = 3-y
x : 27 = y :x
y-x+y =3
27y = x²
2y -x =3
27y =x²
-x = 3-2y /:(-1)
27y = x²
x =2y -3
27y =(2y-3)²
x =2y -3
27y = 4y² -12y +9
x =2y -3
27y - 4y² +12y -9 =0
x= 2y -3
4y²-12y +9 -27y =0
x =2y -3
4y² -39y +9 =0
z drugiego równania obliczam Δ i y₁ oraz y₂
a =4
b =-39
c= 9
Δ = (b²-4ac)
Δ = (-39)² -4*4*9= 1521 -144 =1377
√Δ =√1377 = √81*√17
√Δ= 9√17
y₁ = (-b-√Δ):2a
y₁=[-(-39) -9√17)]: 2*4 = (39-9√17) :8
y₂ = (-b-√Δ):2a
y₂ = =[-(-39) +9√17)]: 2*4 = (39+9√17) :8
teraz obliczam x₁ i x₂
x₁ = 2y -3
x₁ = 2(39-9√17) :8 - 3 =(39-9√17) :4 -3 = 39/4 - (9/4)*√17 -3 =27/4 -(9/4)*√17
x₁ = (9/4)*[ 3 -√17]
x₂ =2 (39+9√17) :8 -3 = (39+9√17) :4 -3 = 39/4 +(9/4)*√17 -3 =27/4+(9/4)*√17
x₂ = (9/4)*[ 3 +√17]
Odp.
x₁ = (9/4)*[ 3 -√17] i y ₁=(39-9√17) :8 lub
x₂ = (9/4)*[ 3 +√17] i y ₂ = (39+9√17) :8