Rozwiązane

Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC. Punkty A1, B1, C1 są odpowiednio środkami boków AB, BC i AC, zaś punkty K,L,M są środkami odcinków SA, SB i SC. Udowodnij, że trójkąt
KLM ≡ A1B1C1. Według mnie to nie mogą być trójkąty przystające, ponieważ żadna cecha z trzech nie pasuje do nich, po prostu nie nakładają się, mając boki różnych długości. Proszę bardzo o pomoc.

Odpowiedź :

Unicorn05viz

Środek ciężkości trójkąta to punkt przecięcia jego środkowych. Środkowa to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

Z.:

   S - środek ciężkości trójkąta

  |AA1| = |A1B|

  |BB1| = |B1C|

  |AC1| = |C1C|

  |AK| = |KS|

  |BL| = |LS|

  |CM| = |MS|

T.:

   ΔKLM ≡ ΔA1B1C1

D.:

    Z twierdzenia o odcinku łączącym środki dwóch boków trójkąta, mamy:

    Z trójkąta ABC:

                              B1C1║AB  i  |B1C1| = 0,5|AB|

                              A1B1║AC  i  |A1B1| = 0,5|AC|  

                              A1C1║BC  i  |A1C1| = 0,5|BC|

   Z trójkąta ABS:    KL║AB   i  |KL| = 0,5|AB|

   Z trójkąta BCS:    LM║BC  i  |LM| = 0,5|BC|

   Z trójkąta ACS:   KM║AC  i  |KM| = 0,5|AC|

    |KL| = |B1C1|  ∧  |LM| = |A1C1|  ∧  |KM| = |A1B1|

    Czyli z cechy bok-bok-bok  ΔKLM ≡ ΔA1B1C1

                                                                              c.n.d.

Zobacz obrazek Unicorn05

Viz Inne Pytanie