Odpowiedź :
Pan Jan jest starszy od pani Małgosi. Jeśli przestawimy cyfry liczby wyrażającej wiek pana Jana, to otrzymamy wiek pani Małgosi. Ponadto różnica kwadratów liczb wyrażających wiek każdego z nich jest kwadratem liczby całkowitej. Ile lat ma pan Jan, a ile pani Małgosia?
głównie chodzi mi o rozwiązanie tego zadania
10x+y - wiek pana Jana
10y+x- wiek pani Małgosi
x>y
(10x+y )²-(10y+x)²=a²
(10x+y+10y+x)(10x+y-10y-x)=a²
(11x+11y)(9x-9y)=a²
11(x+y)*9(x-y)=a²
mamy różne możliwości aby po prawej stronie był kwadrat jakiejś liczby
np. x+y=11 i x-y=1 i x>y czyli x=6 y=5
czyli 65 lat i 56 lat
np. x+y=11 i x-y=4 i x>y czyli x=7,5 sprzeczność
x+y=11 i x-y=9 i x>y czyli x=10 sprzeczność
Odp. Pan Jan 65 , pani Małgosia 56
głównie chodzi mi o rozwiązanie tego zadania
10x+y - wiek pana Jana
10y+x- wiek pani Małgosi
x>y
(10x+y )²-(10y+x)²=a²
(10x+y+10y+x)(10x+y-10y-x)=a²
(11x+11y)(9x-9y)=a²
11(x+y)*9(x-y)=a²
mamy różne możliwości aby po prawej stronie był kwadrat jakiejś liczby
np. x+y=11 i x-y=1 i x>y czyli x=6 y=5
czyli 65 lat i 56 lat
np. x+y=11 i x-y=4 i x>y czyli x=7,5 sprzeczność
x+y=11 i x-y=9 i x>y czyli x=10 sprzeczność
Odp. Pan Jan 65 , pani Małgosia 56
x-cyfra dziesiatek wieku Jana
y-cyfra jednosci wieku Jana
10x+y-wiek Jana
10y+x-wiek Małgosi
(10x+y)2- (10y+x)2=100x²+20xy+y²-100y²-20xy-x²=99x²-99y²=99(x²-y²)=(x-y)(x+y)-kwadrat liczby całkowitej, czyli jest napewno liczbą dodatnią
Pana Jan jest starszy, czyli x jest wieksze od y
sprawdzamy po kolei.
jesli x=9 i y=8
Jan 98
Małgosia 89
99(9²-8²)=1683
√1683 nie jest liczba całkowita
jesli x=9 i y=7
99(9²-7²)=3168
√3168- nie jest liczba całkowita
x=9
y=6
99(9²-6²)=4455
√4455-nie jest liczbą całkowita
x=9
y=5
99(9²-5²)=5544
√5544-nie jest l.całkowita
x=9
y=4
99(9²-4²)=4455
√4455-nie jest l.całkowita
x=9
y=3
99(9²-3²)=7128
√7128-nie jest l.całkowita
x=9
y=2
99(9²-2²)=7623
√7623-nie jest l.całkowita
x=9
y=1
99(9²-1²)=7920
√7920-nie jest l. całkowitą
x=9
y=0
99(9²-0)=8019
√8019-nie jest l. całkowita
x=8
y=7
99(8²-7²)1485
√1485-nie jest l. całkowita
x=8y=6
99(8²-6²)=2772
√2772-nie jest l. całkowita
x=8
y=5
99(8²-5²)=3861
√3861-nie jest l.calkowita
x=8
y=4
99(8²-4²)=4752
√4752-nie jest l. całkowita
x=8
y=3
99(8²-3²)=5445
√5445-nie jest l.c.
x=8
y=2
99(8²-2²)=5940
√5940-nie jest l.c.
x=8
y=1
99(8²-1²)=6237
√6237-nie jest l.c.
x=8
y=0
99(8²-0)=6336
√6336 -nie jest l.c.
x=7
y=6
99(7²-6²)=1287
√1287-nie jest l.c.
x=7
y=5
99(7²-5²)=2376
√2376- nie jest l.c.
x=7
y=4
99(7²-4²)=3267
√3267-nie jest l.c.
x=7
y=3
99(7²-3²)=3960
√3960- nie jest l.c.
x=7
y=2
99(7²-2²)=4455
√4455- nie jest l.c.
x=7
y=1
99(7²-1²)=4752
√4752- nie jest l.c.
x=7
y=0
99(7²-0)=4851
√4851- nie jest l.c.
x=6
y=5
99(6²-5²)=1089
√1089=33 jest l.całkowita
Jan ma 65 lat a małgosia 56!!!
Mozna sprawdzac dalej moze bedzie jeszcze jedno rowiązanie ale watpie
y-cyfra jednosci wieku Jana
10x+y-wiek Jana
10y+x-wiek Małgosi
(10x+y)2- (10y+x)2=100x²+20xy+y²-100y²-20xy-x²=99x²-99y²=99(x²-y²)=(x-y)(x+y)-kwadrat liczby całkowitej, czyli jest napewno liczbą dodatnią
Pana Jan jest starszy, czyli x jest wieksze od y
sprawdzamy po kolei.
jesli x=9 i y=8
Jan 98
Małgosia 89
99(9²-8²)=1683
√1683 nie jest liczba całkowita
jesli x=9 i y=7
99(9²-7²)=3168
√3168- nie jest liczba całkowita
x=9
y=6
99(9²-6²)=4455
√4455-nie jest liczbą całkowita
x=9
y=5
99(9²-5²)=5544
√5544-nie jest l.całkowita
x=9
y=4
99(9²-4²)=4455
√4455-nie jest l.całkowita
x=9
y=3
99(9²-3²)=7128
√7128-nie jest l.całkowita
x=9
y=2
99(9²-2²)=7623
√7623-nie jest l.całkowita
x=9
y=1
99(9²-1²)=7920
√7920-nie jest l. całkowitą
x=9
y=0
99(9²-0)=8019
√8019-nie jest l. całkowita
x=8
y=7
99(8²-7²)1485
√1485-nie jest l. całkowita
x=8y=6
99(8²-6²)=2772
√2772-nie jest l. całkowita
x=8
y=5
99(8²-5²)=3861
√3861-nie jest l.calkowita
x=8
y=4
99(8²-4²)=4752
√4752-nie jest l. całkowita
x=8
y=3
99(8²-3²)=5445
√5445-nie jest l.c.
x=8
y=2
99(8²-2²)=5940
√5940-nie jest l.c.
x=8
y=1
99(8²-1²)=6237
√6237-nie jest l.c.
x=8
y=0
99(8²-0)=6336
√6336 -nie jest l.c.
x=7
y=6
99(7²-6²)=1287
√1287-nie jest l.c.
x=7
y=5
99(7²-5²)=2376
√2376- nie jest l.c.
x=7
y=4
99(7²-4²)=3267
√3267-nie jest l.c.
x=7
y=3
99(7²-3²)=3960
√3960- nie jest l.c.
x=7
y=2
99(7²-2²)=4455
√4455- nie jest l.c.
x=7
y=1
99(7²-1²)=4752
√4752- nie jest l.c.
x=7
y=0
99(7²-0)=4851
√4851- nie jest l.c.
x=6
y=5
99(6²-5²)=1089
√1089=33 jest l.całkowita
Jan ma 65 lat a małgosia 56!!!
Mozna sprawdzac dalej moze bedzie jeszcze jedno rowiązanie ale watpie