a - bok sześciokąta foremnego
R - promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym
r - promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny
Pko - pole koła opisanego
Pkw - pole koła wpisanego
Pp - pole pierścienia kołowegp
Ps - pole sześciokąta foremnego
[tex]R = a [/tex]
[tex]r = \frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]P_{ko} = \pi R^2 = \pi a^2[/tex]
[tex]P_{kw} = \pi r^2 = \pi (\frac{a\sqrt{3}}{2})^2 = \pi \frac{3a^2}{4}[/tex]
[tex]P_p =2 \pi[/tex]
[tex]P_p = \pi a^2 - \pi \frac{3a^2}{4} = \pi (a^2 - \frac{3a^2}{4}) = \pi (\frac{4a^2}{4} - \frac{3a^2}{4}) = \pi \frac{a^2}{4}[/tex]
Zatem:
[tex]\pi \frac{a^2}{4} = 2 \pi \ / : \ \pi[/tex]
[tex]\frac{a^2}{4} = 2 \ / \cdot 4[/tex]
[tex]a^2 = 8[/tex]
[tex]a = \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}[/tex]
[tex]P_s =\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]P_s =\frac{3 \cdot 8 \sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}[/tex]
Odp. Pole szesciokata foremnego 12√3 j²
