Odpowiedź :
ZADANIE 1
napisz równanie prostej przechodzącej przez A=(-6,-1) i B=(2,3) oraz rónanie prostej prostopadłej i równoległej do tej prostej i przechodzącej przez punkt
C=(-1,-1)
A=(-6,-1) A = (xA, yA)
B=(2,3) B = (xB, yB)
1. Obliczam wapółczynnik przy x bo y = ax + b
a = tg α = (yB - yA):(xB-xA)
a = [3-(-1)]:[2 -(-6)] = (3+1):(2+6) = ½
a = ½
2. Obliczam równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty A=(-6,-1) i B=(2,3)
y - yA = a ( x -xA)
y-(-1) = ½ [x - (-6)]
y +1 =½ ( x+6)
y = ½x +3 -1
y = ½x +2
3. Wyznaczam równie prostej równoległej do prostej
y = ½x +2 i przechodzącej przez punkt C = (-1, -1)
z warunku równoległości prostych mamy: a₁ = a₂
a₁ = ½
a₁ = a₂ = ½
Prosta równoległa do danej prostej ma równanie:
y = ½x +b
teraz w miejsce x i y wstawiam współrzędne punktu C i obliczam b
-1 = ½(-1) +b
½(-1) +b = -1
b = -1 +½
b = - ½
czyli prosta równoległa do danej prostej i przechodząca przez punkt c = (-1, -1) ma równanie:
y = ½x - ½
4. Wyznaczam równie prostej prostopadłej do prostej
y = ½x +2 i przechodzącej przez punkt C = (-1, -1)
z warunku prostopadłości prostych mamy: a₁* a₂ = -1
a₂ = -1: a₁
a₂ = -1 :(½ )
a₂ = -2
prosta prostopadła do danej prostej ma równanie:
y = -2x +b
teraz w miejsce x i y wstawiam współrzędne punktu C i obliczam b
-1 = -2(-1) +b
-2(-1) +b = -1
2 +b = -1
b = -1 -2
b = - 3
czyli prosta prostopadła do danej prostej i przechodząca przez punkt C=(-1, -1) ma równanie:
y = -2x -3
ZADANIE 2
punkty A=(2,-5) i B=(-4,1) są końcami odcinka znajdz środek,długość tego odcinka oraz napisz równanie symetralnej
tego odcinka.
A=(2,-5)
B=(-4,1)
S = (xs, ys) - środek odcinka
1. Obliczam współrzędną xs środka odcinka
xs = (xA + xB) :2
xs = [2 + (-4)]:2
xs = (-2): 2
xs = -1
2. Obliczam współrzędną ys środka odcinka
ys =(yA + yB) :2
ys = [-5 + 1]:2
ys =(-4) :2
ys = -2
środek odcinka ma współrzędne S = ( -1, -2)
3. Obliczam symetralną
Symetralna jest to prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek
Najpierw wyznaczam równanie prostej AB
y - yA = [(yA -yB):(xA -xB)] *(x-xA)
y -2 = [(-5 -1):(2-(-4))]*(x-2)
y -2 = [(- 6):6]*(x-2)
y-2 = - x +2
y = - x +2 +2
y = -x +4
Teraz wyznaczam równanie prostej prostopadłej do prostej i przechodzącej przez środek odcinka S = (xs, ys ) czyli równanie symetralnej
z warunku prostopadłości mamy
a₁ *a₂ = -1 i a₁ = -1
a₂ = - 1: a₁
a₂ = -1 :(-1) = 1
a₂ = 1
Równanie prostej ma postać:
y = a₂x+b
y = x +b
teraz obliczam b podstawiając współrzędne środka S =(-1, -2)
w miejsce x =-1 i y = - 2
- 2 = -1 + b
b-1 = -2
b = -2 +1
b = -1
Równanie symetralnej ma więc postać:
y = x -1
ZADANIE 4
bok rombu ma długość 17,a jego dłuższa przekątna 30.oblicz pole tego rombu
a = 17
f= 30 - dłuższa przekatna rombu
e- krótsza przekątna rombu
Przekatne rombu przecinaja się pod katem prostym
P = ?
z trójkąta prostokątnego
gdzie:
1/2e -przyprostokątna
1/2f =1/2*30 =15 druga przyprostokątna
a =17 - przeciwprostokątna
1.Obliczam drugą przekątną
Z tw. Pitagorasa
a² = (½f)² + (½ e)²
17² = 15² + ¼e²
¼e² = 17² - 15²
¼e² = 289 - 225
¼e² = 64 /*4
e² = 256
e =√256
e = 16
2. obliczam pole rombu
P = ½*e*f
P= ½ *16*30
P = 240
napisz równanie prostej przechodzącej przez A=(-6,-1) i B=(2,3) oraz rónanie prostej prostopadłej i równoległej do tej prostej i przechodzącej przez punkt
C=(-1,-1)
A=(-6,-1) A = (xA, yA)
B=(2,3) B = (xB, yB)
1. Obliczam wapółczynnik przy x bo y = ax + b
a = tg α = (yB - yA):(xB-xA)
a = [3-(-1)]:[2 -(-6)] = (3+1):(2+6) = ½
a = ½
2. Obliczam równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty A=(-6,-1) i B=(2,3)
y - yA = a ( x -xA)
y-(-1) = ½ [x - (-6)]
y +1 =½ ( x+6)
y = ½x +3 -1
y = ½x +2
3. Wyznaczam równie prostej równoległej do prostej
y = ½x +2 i przechodzącej przez punkt C = (-1, -1)
z warunku równoległości prostych mamy: a₁ = a₂
a₁ = ½
a₁ = a₂ = ½
Prosta równoległa do danej prostej ma równanie:
y = ½x +b
teraz w miejsce x i y wstawiam współrzędne punktu C i obliczam b
-1 = ½(-1) +b
½(-1) +b = -1
b = -1 +½
b = - ½
czyli prosta równoległa do danej prostej i przechodząca przez punkt c = (-1, -1) ma równanie:
y = ½x - ½
4. Wyznaczam równie prostej prostopadłej do prostej
y = ½x +2 i przechodzącej przez punkt C = (-1, -1)
z warunku prostopadłości prostych mamy: a₁* a₂ = -1
a₂ = -1: a₁
a₂ = -1 :(½ )
a₂ = -2
prosta prostopadła do danej prostej ma równanie:
y = -2x +b
teraz w miejsce x i y wstawiam współrzędne punktu C i obliczam b
-1 = -2(-1) +b
-2(-1) +b = -1
2 +b = -1
b = -1 -2
b = - 3
czyli prosta prostopadła do danej prostej i przechodząca przez punkt C=(-1, -1) ma równanie:
y = -2x -3
ZADANIE 2
punkty A=(2,-5) i B=(-4,1) są końcami odcinka znajdz środek,długość tego odcinka oraz napisz równanie symetralnej
tego odcinka.
A=(2,-5)
B=(-4,1)
S = (xs, ys) - środek odcinka
1. Obliczam współrzędną xs środka odcinka
xs = (xA + xB) :2
xs = [2 + (-4)]:2
xs = (-2): 2
xs = -1
2. Obliczam współrzędną ys środka odcinka
ys =(yA + yB) :2
ys = [-5 + 1]:2
ys =(-4) :2
ys = -2
środek odcinka ma współrzędne S = ( -1, -2)
3. Obliczam symetralną
Symetralna jest to prosta prostopadła do odcinka i przechodząca przez jego środek
Najpierw wyznaczam równanie prostej AB
y - yA = [(yA -yB):(xA -xB)] *(x-xA)
y -2 = [(-5 -1):(2-(-4))]*(x-2)
y -2 = [(- 6):6]*(x-2)
y-2 = - x +2
y = - x +2 +2
y = -x +4
Teraz wyznaczam równanie prostej prostopadłej do prostej i przechodzącej przez środek odcinka S = (xs, ys ) czyli równanie symetralnej
z warunku prostopadłości mamy
a₁ *a₂ = -1 i a₁ = -1
a₂ = - 1: a₁
a₂ = -1 :(-1) = 1
a₂ = 1
Równanie prostej ma postać:
y = a₂x+b
y = x +b
teraz obliczam b podstawiając współrzędne środka S =(-1, -2)
w miejsce x =-1 i y = - 2
- 2 = -1 + b
b-1 = -2
b = -2 +1
b = -1
Równanie symetralnej ma więc postać:
y = x -1
ZADANIE 4
bok rombu ma długość 17,a jego dłuższa przekątna 30.oblicz pole tego rombu
a = 17
f= 30 - dłuższa przekatna rombu
e- krótsza przekątna rombu
Przekatne rombu przecinaja się pod katem prostym
P = ?
z trójkąta prostokątnego
gdzie:
1/2e -przyprostokątna
1/2f =1/2*30 =15 druga przyprostokątna
a =17 - przeciwprostokątna
1.Obliczam drugą przekątną
Z tw. Pitagorasa
a² = (½f)² + (½ e)²
17² = 15² + ¼e²
¼e² = 17² - 15²
¼e² = 289 - 225
¼e² = 64 /*4
e² = 256
e =√256
e = 16
2. obliczam pole rombu
P = ½*e*f
P= ½ *16*30
P = 240