Przyjmijmy oznaczenia:
r - promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
R - promień okręgu opisanego na tym samym trójkącie prostokątnym
wtedy: 2r to średnica okręgu wpisanego
a 2R to średnica okręgu opisanego
Oznaczmy wierzchołki trójkąta literami A,B,C
{AB i BC - przyprostokątne, AC - przeciwprostokątna}
a punkty styczności okręgu wpisanego z bokami trójkąta literami D,E,F
(rysunek w załączniku)
Promień okręgu poprowadzony do punktu styczności prostej z okręgiem zawsze tworzy kąt prosty z tą styczną,
czyli czworokąt EBFO jest kwadratem (wszystkie kąty po 90° i dwa sąsiednie boki równe)
Czyli: |EB| = |BF| = |FO| = |EO| = r
Przyjmijmy:
|AB| = a i |BC| = b
wtedy:
|AE| = a - r
|CF| = b - r
Z twierdzenia o odcinkach stycznych do okręgu, mamy:
|CD| = |CF| = b - r
oraz: |AD| = |AE| = a - r
Czyli:
|AC| = |AD| + |CD| = a - r + b - r = a + b - 2r
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest jednocześnie średnicą okręgu opisanego na tym trójkącie
czyli: |AC| = 2R
Stąd:
a + b - 2r = 2R /-2r
a + b = 2r + 2R
co należało wykazać.
