Oznaczenia (patrz załącznik):
[tex]P_{\Delta AEB} = P_1 \\\
P_{\Delta BEC} = P_2 \\\
P_{\Delta DEC} = P_3 = 10 \ cm^2 \\\
P_{\Delta AED} = P_4 = 15 \ cm^2[/tex]
a)
[tex]\left.\begin{array}{l}
P_3 = \frac{1}{2} \cdot |EC| \cdot h_1 \\ P_3 = 10 \end{array}\right\} \
\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot |EC| \cdot h_1 = 10 \\\\
\frac{1}{2} \cdot |EC| \cdot h_1 = 10 \ / \cdot 2 \\\\
|EC| \cdot h_1 = 20 \ / : h_1 \\\\
|EC| = \frac{20}{h_1}[/tex]
[tex]\left.\begin{array}{l} P_4 =
\frac{1}{2} \cdot |AE| \cdot h_1 \\ P_4 = 15 \end{array}\right\} \
\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot |AE| \cdot h_1 = 15 \\\\
\frac{1}{2} \cdot |AE| \cdot h_1 = 15 \ / \cdot 2 \\\\
|AE| \cdot h_1 = 30 \ / : h_1 \\\\
|AE| = \frac{30}{h_1}[/tex]
[tex]EC : AE = \frac{20}{h_1} : \frac{30}{h_1} = \frac{20}{h_1} \cdot \frac{h_1}{30}= \frac{20}{30} = \frac{2}{3} = 2:3[/tex]
Odp. EC : AE = 2 : 3
b)
Na podstawie cechy (kk) stwierdzamy, że trójkąty AEB i DEC są podobne.
----------
ΔAEB ~ ΔDEC, bo:
|∡AEB| = |∡CED|, bo są to kąty wierzchołkowe
|∡BAE| = |∡DCE|, bo są to kąty naprzemianległe
|∡ABE| = |∡CDE|, bo są to kąty naprzemianległe
----------
Stąd:
[tex]k = \frac{|EC|}{|AE|} = \frac{2}{3}[/tex], gdzie k to skala podobieństwa
oraz
[tex]\frac{P_3}{P_1} =k^2[/tex]
Zatem:
[tex]\frac{P_3}{P_1} =(\frac{2}{3})^2 \\\\ \frac{10}{P_1} =\frac{4}{9} \\\\
4\cdot P_1 = 10 \cdot 9 \\\\
4P_1 = 90 \ /: 4 \\\\
P_1 = 22, 5 \ cm^2[/tex]
[tex]\left.\begin{array}{l} P_{\Delta
ABC} = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h_2 \\ P_{\Delta ABD} = \frac{1}{2}
\cdot |AB| \cdot h_2 \end{array}\right\} \ \Rightarrow P_{\Delta ABC}
=P_{\Delta ABD} \\\\ P_{\Delta ABC} =P_{\Delta ABD} \\\\
P_1 + P_2 = P_1+P_4 \\\\
P_2 = P_4 \\\\
P_2 = 15 \ cm^2[/tex]
Pole trapezu ABCD:
[tex]P_{ABCD} = P_1 + P_2+P_3+P_4 = 22,5 +15 +10 + 15 = 62,5 \ cm^2[/tex]
Odp. Pole trapezu ABCD wynosi 62,5 cm².
