Rozwiązane

Oblicz miary kątów czworokąta ABCD, wiedząc, że:
a) przekątna AC jest dwusieczną kąta przy wierzchołku A i dwusieczną kąta przy wierzchołku C oraz kąt ACB jest o 20 stopni mniejszy od kąta DAC, natomiast kąt ADC jest o 50 stopni większy od kąta CAB.
b) przekątna AC jest dwusieczną kąta przy wierzchołku A oraz suma miar kątów DAC i DCA wynosi 90 stopni, kąt DCA ma miarę dwa razy większą niż kąt ACB, natomiast kąt ABC jest o 60stopni większy od kąta DAC.
c) Czy czworokąt ABCD jest deltoidem? Odpowiedź uzasadnij.

Odpowiedź :

a) Miary kątów wynoszą odpowiednio: 100, 100, 60 i 100 stopni.

b) Miary kątów wynoszą 100, 90, 60, 110

Miary kątów w czworokącie

a)

Dwusieczna kąta oznacza, że prosta dzieli kąt na dwa kąty o takiej samej mierze. Oznaczmy kąty przy wierzchołku A jako [tex]\alpha[/tex], a przy wierzchołku C jako [tex]\beta[/tex] . Kąt przy wierzchołku D oznaczmy jako x.

Wiemy, że suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180 °. Możemy więc zapisać:

[tex]\alpha +\beta[/tex] + x = 180

Z danych w tekście wiemy, że kąt ACB  ( [tex]\beta[/tex] ) jest mniejszy o 20 stopni od DAC. Wiemy również, że kąt ADC (x) jest większy o 50 stopni od kąta CAB ( [tex]\alpha[/tex] ). Możemy zapisać:

x = [tex]\alpha[/tex] + 50

Możemy wstawić wyliczone [tex]\beta[/tex] oraz x  do pierwotnego równania, aby obliczyć [tex]\alpha[/tex].

[tex]\alpha +\beta[/tex] + x = 180

[tex]\alpha + ( \alpha - 20 )[/tex] + [tex]\alpha[/tex] + 50 = 180

[tex]\alpha + \alpha - 20[/tex] + [tex]\alpha[/tex] + 50 = 180

Przenosimy niewiadome [tex]\alpha[/tex] na lewą stronę, a liczby na prawą.

3 [tex]\alpha[/tex] = 150

[tex]\alpha[/tex] = 50

Wstawiając do poprzednich równań:

  • x = [tex]\alpha[/tex] + 50

x = 50 + 50

x = 100

  • [tex]\alpha +\beta[/tex] + x = 180

50 + [tex]\beta[/tex] + 100 = 180

[tex]\beta[/tex] = 30

Kąty w czworokącie: 2 [tex]\alpha[/tex], x, 2[tex]\beta[/tex] i czwarty nieznany kąt. Suma to 360 stopni

360=100+100+60+a

b)

Dwusieczna dzieli kąt BAD na dwa takie same kąty. Oznaczmy je jako [tex]\alpha[/tex].

Suma miar kąta DAC ([tex]\alpha[/tex]) i DCA (oznaczmy jako [tex]\beta[/tex]) jest równa 90°. Możemy zapisać:

[tex]\alpha +\beta[/tex] = 90

Kąt DCA ([tex]\beta[/tex]) jest dwa razy większy od kąta ACB (oznaczmy jako y). Możemy zapisać:

[tex]\beta[/tex] = 2y

y = [tex]\frac{1}{2} \beta[/tex]

Kąt  ABC (oznaczmy jako x) jest o 60 stopni większy od DAC ([tex]\alpha[/tex]). Możemy zapisać:

x = [tex]\alpha[/tex] + 60

Wiemy, że suma kątów w każdym trójkącie wynosi 180 °. Możemy więc zapisać:

180= [tex]\alpha[/tex] + x +y

Podstawiamy poprzednie równania:

180 = [tex]\alpha[/tex] + [tex]\alpha[/tex] + 60 + [tex]\frac{1}{2} \beta[/tex]

180 = [tex]\alpha[/tex] + [tex]\alpha[/tex] + 60 + [tex]\frac{1}{2} (90-\alpha )[/tex]

120 = 2 [tex]\alpha[/tex] + [tex]\frac{1}{2} (90-\alpha )[/tex]

240 = 4 [tex]\alpha[/tex] + 90 - [tex]\alpha[/tex]

150 = 3[tex]\alpha[/tex]

[tex]\alpha[/tex] = 50

[tex]\beta[/tex] = 90 - 50 = 40

x = 50 + 60 = 110

y = 20

W całym czworokącie mamy 2*[tex]\alpha[/tex] + 90 + x + [tex]\beta[/tex] + y. Miary kątów wynoszą więc 100, 90, 60, 110

c)

Oba czworokąty nie są deltoidami, ponieważ deltoid posiada dwie pary równych kątów.