zad 5
a) log₃ ( 2x -10 ) = log₃ ( x +1 )
Założenia : 2x - 10 > 0 i x +1 > 0
czyli x > 5 i x > -1
wspólną częścią obu nierówności z założenia jest:
x > 5
Ponieważ ponieważ podstawy log są takie same więc porównuje się liczby logarytmowane więc:
2x -10 = x +1
2x -x = 1 +10
x = 11 jest rozwiązaniem ponieważ jest liczbą większą od 5
b) 2 log₃ x = log₃ ( 4x -3 )
założenia: x > 0 i 4x -3 >0
x >0 i x >3/4
wspólną częścią obu nierówności z założenia jest :
x > 3/4
Rozwiązuję log
2 log₃ x = log₃ ( 4x -3 )
log₃ x² = log₃ ( 4x -3 )
Ponieważ ponieważ podstawy log są takie same więc porównuje się liczby logarytmowane więc:
x² = 4x -3
x² - 4x +3 = 0
obliczam Δ = (-4 )²- 4*1*3
Δ = 16 - 12 = 4
Δ = 4
√Δ = 2
x₁ = [- (-4) -2] : 2*1 = 2:2 =1 jest rozwiązaniem bo jest > 3/4
x₂ = [- (-4) +2] : 2*1 =6:2 = 3 jest rozwiązaniem bo jest > 3/4
c) log₅ x + log₅ (x +1 ) = log₅ 2
Założenia : x >0 i x+1 >0
x >0 i x > -1
wspólną częścią jest x > 0
Rozwiązuję log :
log₅ x + log₅ (x +1 ) = log₅ 2
korzystam ze wzoru na sumę log o tej samej podstawie
log₅ [x (x+1 )] = log₅ 2
Opuszczam log
x (x+1 ) = 2
x² + x -2 =0
Obliczam Δ = 1² - 4*1*(-2) =1 + 8 = 9
√Δ = √9 = 3
x₁ = (-1 -3) : 2 = - 2 nie jest rozwiązaniem
x₂ = ( -1 +3) : 2 = 1 jest rozwiązaniem
d) log₂ (x+2) - log₂ (x-2 ) = 1
założenia:
x+2 > 0 i x-2>0
x > -2 i x > 2
Wspólną częścią jest x >2
Rozwiązuję log
korzystam ze wzoru na różnicę log o tej samej podstawie i stosuję 1 = log₂ 2 bo 2² = 1
czyli:
log₂ (x+2) - log₂ (x-2 ) = 1
log₂ [( x+2):(x-2)] = log₂ 2
opuszczam log i porównuję liczby logarytmowane
( x+2):(x-2) = 2
(x+2):(x-2) -2 =0
sprowadzam do wspólnego mianownika
[(x+2)-2(x-2)]: ( x-2) = 0 zgodnie z zał. x>2 więc dzielę stronami przez (x-2)
otrzymuję:
(x+2)-2(x-2) = 0
x+2-2x -4 = 0
-x -2 = 0
- x = 2
x = -2 nie jest rozwiązaniem
d) log 4 = 2 log (x + 1)
zał: x+1 > 0
x > -1
Rozwiązuję
log 4 = 2 log (x + 1)
2 log (x + 1) = log 4
log [( x+1)²] = log 4
opuszczam log
( x+1)² = 4
x² + 2x +1 - 4 = 0
x² + 2x - 3 = 0
Δ = 2² - 4*1 *(-3) = 4 + 12 = 16
√Δ = √16 = 4
x₁ = [(-2 - 4) ]: 2 = -3 nie jest rozwiązaniem
x₂ = [(-2 + 4) ]: 2 = 1 jest rozwiązaniem
Zad 6 w 3 załącznikach
