Zadanie 1
ctgα=-1/2
Z wlasności
ctgα*tgα=1
tgα=1/ctgα
tgα=1/(-1/2)=-2
ctgα=cosα/sinα
-1/2=cosα/sinα , stąd cosα=-1/2*sinα
Z jedynki trygonometrycznej
sin²α+cos²α=1 , wstawiamy za cosα=-1/2*sinα
sin²α+(-1/2*sinα)²=1
sin²α+1/4sin²α=1
5/4sin²α=1/:(5/4)
sin²α=4/5
sinα = 2/√5=2√5/5 lub sinα= -2√5/5
Ponieważ to IV ćwiartka więc cos jest dodatni
cosα=-1/2*(-2√5/5)=√5/5
Zadanie 2
4tgα=3sin²α+3cos²α
Z jedynki trygonometrycznej w miejsce cos²α wstawiamy (1-sin²α)
4tgα =3sin²α+3(1-sin²α)= 3sin²α+3-3sin²α
4tgα=3/:4
tgα=3/4
Zadanie 3
Ze wzorów skróconego mnożenia:
(1+tgα)²+(1-tgα)²=2/cos²α
L: 1+2tgα+tg²α+(1-2tgα+tg²α) = 1+2tgα+tg²α+1-2tgα+tg²α = 2tg²α+2=
2(1+tg²α)=
2( 1+(sinα/cosα)²) = 2( 1+sin²α/cos²α)=
2((cos² α+sin²α) /cos²α) = 2( 1/cos²α)=2/cos²α
Zatem L=P
Po "drodze" korzystano ze wzorów tgα=sinα/cosα i jedynki trygonometrycznej
Zadanie 4
a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność sin α – tg α<0
Pierwsza ćwiartka α<90° , zatem sinL >0 , tgL>0
więc sinL-tgL<0 , gdy sinL<tgL
b) Dla sin α =2√2/3 oblicz wartość wyrażenia cos³ α + cos α ∙sin² α
Z jedynki
sin²α+cos²α=1
(2√2/3)²+cos²α=1
cos²α=1-8/9
cos²α=1/9
cosα=1/3
Wstawiamy do równania
(1/3)³+1/3*(8/9)=1/27+8/27=9/27=1/3
