Odpowiedź:
Pole tego rombu jest równe [tex]28\, cm^{2}.[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Przypomnijmy najpierw, że rombem nazywamy czworokąt, ktorego przeciwległe boki są równoległe oraz wszystkie boki są równej długości.
Przypomnijmy także, że przekątne dowolnego rombu dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym.
W takim razie, jeżeli przekątne oznaczymy przez e, f, zaś bok rombu przez a, to otrzymamy podział rombu na cztery identyczne trójkąty prostokątne o przyprostokątnych długości [tex]\dfrac{1}{2}e,\, \dfrac{1}{2}f[/tex] i przeciwprostokątnej a.
Przypomnijmy twierdzenie Pitagorasa:
Jeżeli boki dowolnego trójkąta prostokątnego oznaczymy przez a, b, c, gdzie c oznacza przeciwprostokątną, to zachodzi wtedy równość [tex]a^{2}+b^{2}=c^{2}.[/tex]
Z treści zadania wiemy, że [tex]a=6,\, e+f=16.[/tex]
Zgodnie z powyższym dostajemy:
[tex]e=16-f\\e,f \in (0,16)\\\left(\dfrac{1}{2}e \right)^{2}+\left(\dfrac{1}{2}f \right)^{2}=a^{2}\\\left(\dfrac{16-f}{2} \right)^{2}+\left(\dfrac{1}{2}f \right)^{2}=6^{2}\\\dfrac{1}{4} \cdot (16-f)^{2}+\dfrac{1}{4}f^{2}=36 \ \vline \cdot 4\\256+2f^{2}-32f-144=0\\2f^{2}-32f+112=0\ \vline :2\\f^{2}-16f+56=0\\a=1,\, b=-16,\, c=56\\\Delta=(-16)^{2}-4\cdot 1\cdot 56=256-224=32\\\sqrt{\Delta}=\sqrt{32}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}[/tex]
[tex]f_{1}=\dfrac{16-4\sqrt{2}}{2}=8-2\sqrt{2}\in (0,16)\\f_{2}=\dfrac{16+4\sqrt{2}}{2}=8+2\sqrt{2}\in (0,16)\\e_{1}=16-8+2\sqrt{2}=8+2\sqrt{2}\\e_{2}=16-8-2\sqrt{2}=8-2\sqrt{2}[/tex]
Z powyższego wnioskujemy, że przekątne rozważanego rombu mają długości odpowiednio [tex]8-2\sqrt{2},\, 8+2\sqrt{2}.[/tex]
Przypomnijmy jeszcze, że pole powierzchni dowolnego rombu o przekątnych długości [tex]e,f[/tex] możemy obliczyć korzystając ze wzoru [tex]P=\dfrac{1}{2}\cdot e\cdot f.[/tex]
Obliczamy pole powierzchni rozważanego rombu:
[tex]P=\dfrac{1}{2} \cdot (8-2\sqrt{2})\cdot (8+2\sqrt{2})=\dfrac{1}{2}\cdot [64^{2}-(2\sqrt{2})^{2}]=\dfrac{1}{2} \cdot (64-8)=\dfrac{1}{2} \cdot 56=28\, cm^{2}[/tex]
szkoła średnia
Dział Czworokąty i ich własności
